द्विपद वितरण कैलकुलेटर

P(X=k), P(X≤k), P(X≥k), माध्य, विचरण और पूर्ण वितरण तालिका की गणना करें

त्वरित उदाहरण
पूर्णांक 1 – 1000
दशमलव 0 – 1
पूर्णांक 0 – n

द्विपद वितरण क्या है?

द्विपद वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जो n स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या X का मॉडल बनाता है, जहाँ प्रत्येक परीक्षण में सफलता की समान संभाव्यता p होती है। यह इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर देता है: "यदि मैं एक सिक्का 10 बार उछालूं, तो ठीक 5 बार चित आने की संभाव्यता क्या है?" या "यदि एक कारखाने में 5% दोष दर से पुर्जे बनाए जाते हैं, तो 20 में से ठीक 2 दोषपूर्ण होने की संभाव्यता क्या है?"

द्विपद मॉडल लागू करने के लिए चार शर्तें पूरी होनी चाहिए:

  • निश्चित संख्या n में परीक्षण किए जाते हैं।
  • प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है — एक परीक्षण का परिणाम किसी अन्य को प्रभावित नहीं करता।
  • प्रत्येक परीक्षण में सफलता की समान संभाव्यता p होती है।
  • प्रत्येक परीक्षण में केवल दो परिणाम होते हैं: सफलता (संभाव्यता p) या असफलता (संभाव्यता 1 − p)।

द्विपद संभाव्यता सूत्र

द्विपद वितरण का संभाव्यता द्रव्यमान फलन (PMF) है:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)

प्रत्येक पद का स्पष्ट अर्थ है:

  • C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) — द्विपद गुणांक, n परीक्षणों में से k सफलताएं चुनने के तरीकों की संख्या।
  • p^k — ठीक k विशिष्ट परीक्षणों के सफल होने की संभाव्यता।
  • (1−p)^(n−k) — शेष n−k परीक्षणों के विफल होने की संभाव्यता।

माध्य, विचरण और मानक विचलन

मापसूत्रअर्थ
माध्य (μ)n × pसफलताओं की प्रत्याशित संख्या
विचरण (σ²)n × p × (1−p)वितरण का फैलाव
मानक विचलन (σ)√(n × p × (1−p))माध्य से सामान्य विचलन

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — सिक्का उछाल: 10 उछालों में ठीक 5 चित की P

एक निष्पक्ष सिक्का 10 बार उछाला जाता है। ठीक 5 बार चित आने की संभाव्यता क्या है?

n = 10, p = 0.5, k = 5 C(10,5) = 10! / (5! × 5!) = 252 p^k = 0.5^5 = 0.03125 (1−p)^(n−k) = 0.5^5 = 0.03125 P(X = 5) = 252 × 0.03125 × 0.03125 = 252/1024 ≈ 0.246094

10 सिक्का उछालों में ठीक 5 बार चित आने की संभाव्यता लगभग 24.6% है।

उदाहरण 2 — गुणवत्ता नियंत्रण: दोषपूर्ण पुर्जे

एक कारखाना ऐसे घटक बनाता है जिनमें 5% दोषपूर्ण होते हैं। 20 पुर्जों के एक बैच का निरीक्षण किया जाता है। ठीक 2 दोषपूर्ण होने की संभाव्यता क्या है?

n = 20, p = 0.05, k = 2 C(20,2) = 190 p^k = 0.05^2 = 0.0025 (1−p)^18 = 0.95^18 ≈ 0.397214 P(X = 2) = 190 × 0.0025 × 0.397214 ≈ 0.188691

20 पुर्जों में ठीक 2 दोषपूर्ण मिलने की संभाव्यता लगभग 18.9% है।

उदाहरण 3 — फ्री थ्रो: बास्केटबॉल शॉट्स

एक बास्केटबॉल खिलाड़ी 80% फ्री थ्रो सफल करता है। यदि वह 15 शॉट लगाए, तो कम से कम 12 सफल होने की संभाव्यता क्या है?

n = 15, p = 0.8 P(X ≥ 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) P(X=12) = C(15,12) × 0.8^12 × 0.2^3 ≈ 0.250144 P(X=13) = C(15,13) × 0.8^13 × 0.2^2 ≈ 0.231472 P(X=14) = C(15,14) × 0.8^14 × 0.2^1 ≈ 0.131597 P(X=15) = C(15,15) × 0.8^15 × 0.2^0 ≈ 0.035184 P(X ≥ 12) ≈ 0.648397

खिलाड़ी के 15 में से 12 या अधिक फ्री थ्रो सफल करने की संभाव्यता लगभग 64.8% है।

संचयी बनाम सटीक संभाव्यता

सटीक (बिंदु) संभाव्यता P(X=k) — जिसे PMF भी कहा जाता है — ठीक k सफलताएं देखने की संभाव्यता देती है। संचयी वितरण फलन (CDF) P(X≤k) 0 से k तक सभी PMF मानों का योग है:

P(X ≤ k) = P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k) = Σi=0k C(n,i) × p^i × (1−p)^(n−i)

पूरक CDF है P(X≥k) = 1 − P(X≤k−1)। कड़ी असमानताएं: P(X<k) = P(X≤k−1) और P(X>k) = 1 − P(X≤k)।

द्विपद वितरण के अनुप्रयोग

  • गुणवत्ता नियंत्रण परीक्षण: उत्पादन बैच में दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या का अनुमान।
  • चिकित्सा नैदानिक परीक्षण: किसी उपचार पर प्रतिक्रिया देने वाले रोगियों की संख्या का मॉडलिंग।
  • चुनाव और मतदान भविष्यवाणियां: द्विआधारी परिणामों के साथ नमूना सर्वेक्षणों से मत गणना का अनुमान।
  • अवसर के खेल: पासा खेल, ताश के पत्ते और सिक्का उछाल में संभावनाओं की गणना।
  • बीमा जोखिम मूल्यांकन: पॉलिसीधारकों के समूह से दावों की संख्या का अनुमान।
  • नेटवर्क विश्वसनीयता: n में से k सर्वर के चालू रहने की संभाव्यता की गणना।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

द्विपद वितरण क्या है?
द्विपद वितरण एक असतत संभाव्यता वितरण है जो n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की संख्या X का मॉडल बनाता है, जहाँ प्रत्येक परीक्षण में सफलता की समान संभाव्यता p होती है। इसे P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k) द्वारा वर्णित किया जाता है, जहाँ k = 0, 1, 2, …, n।
द्विपद वितरण के लिए शर्तें क्या हैं?
चार शर्तें पूरी होनी चाहिए: (1) परीक्षणों की एक निश्चित संख्या n, (2) प्रत्येक परीक्षण अन्य सभी से स्वतंत्र है, (3) प्रत्येक परीक्षण में सफलता की समान संभाव्यता p है, और (4) प्रत्येक परीक्षण में केवल दो परिणाम हैं — सफलता या असफलता। यदि कोई शर्त पूरी नहीं होती, तो कोई अन्य वितरण अधिक उपयुक्त हो सकता है।
P(X=k) की गणना कैसे करें?
द्विपद PMF का उपयोग करें: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), जहाँ C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!)। 10 सिक्का उछालों और ठीक 5 चित के लिए: C(10,5) = 252, P(X=5) = 252 × 0.5^10 = 252/1024 ≈ 0.2461। बड़े n के लिए, ओवरफ्लो से बचने के लिए लॉग-स्पेस गणना का उपयोग करें।
P(X=k) और P(X≤k) में क्या अंतर है?
P(X=k) सटीक (बिंदु) संभाव्यता है — ठीक k सफलताएं मिलने की संभाव्यता। P(X≤k) संचयी वितरण फलन (CDF) है — k या उससे कम सफलताएं मिलने की संभाव्यता, P(X=0) से P(X=k) तक का योग। CDF हमेशा समान k पर PMF से अधिक या बराबर होता है।
द्विपद वितरण का प्रत्याशित मान क्या है?
प्रत्याशित मान (माध्य) μ = n × p है। उदाहरण के लिए, 20 सिक्का उछालों से अपेक्षित μ = 20 × 0.5 = 10 चित। विचरण σ² = n × p × (1−p) और मानक विचलन σ = √(n × p × (1−p)) है।
क्या द्विपद वितरण को सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है?
हाँ, जब n बड़ा हो और p 0 या 1 के बहुत करीब न हो। सामान्य नियम के अनुसार n×p ≥ 5 और n×(1−p) ≥ 5 आवश्यक हैं। अनुमानित सामान्य वितरण में μ = n×p और σ = √(n×p×(1−p)) होता है। बेहतर सटीकता के लिए ±0.5 का सांतत्य सुधार लागू करें।
बर्नौली परीक्षण क्या है?
बर्नौली परीक्षण एक एकल यादृच्छिक प्रयोग है जिसमें ठीक दो परिणाम होते हैं: सफलता (संभाव्यता p) और असफलता (संभाव्यता 1−p)। उदाहरणों में एकल सिक्का उछाल, एक फ्री थ्रो प्रयास, या एक उत्पाद परीक्षण शामिल हैं। द्विपद वितरण n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों का योग है।

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