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डीरेंजमेंट कैलकुलेटर

सबफैक्टोरियल !n = D(n) की गणना करें — वह क्रमपरिवर्तन जहां कोई भी तत्व अपनी मूल स्थिति में नहीं होता

डीरेंजमेंट (Derangement) क्या है?

एक डीरेंजमेंट तत्वों के एक सेट का एक ऐसा क्रमपरिवर्तन (permutation) है जिसमें कोई भी तत्व अपनी मूल स्थिति में दिखाई नहीं देता — प्रत्येक तत्व अपनी जगह से विस्थापित हो जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि आप स्थितियों को 1 से n तक संख्या देते हैं और तत्वों को क्रम में व्यवस्थित करना शुरू करते हैं, तो एक डीरेंजमेंट कोई भी ऐसा पुनर्गठन है जहाँ तत्व i किसी भी i के लिए स्थिति i पर नहीं होता है।

एक सरल उदाहरण: मान लीजिए कि 3 अक्षर A, B, C स्थितियों 1, 2, 3 में हैं। व्यवस्था (B, C, A) एक डीरेंजमेंट है क्योंकि A अब स्थिति 3 में है, B स्थिति 1 में है, और C स्थिति 2 में है — कोई भी अपनी मूल स्थिति में नहीं है। व्यवस्था (B, A, C) एक डीरेंजमेंट नहीं है क्योंकि C अभी भी स्थिति 3 में है।

n = 3 के लिए, बिल्कुल 2 डीरेंजमेंट होते हैं: (B, C, A) और (C, A, B)।

सबफैक्टोरियल (!n) क्या है?

n तत्वों के डीरेंजमेंट की संख्या को D(n) द्वारा दर्शाया जाता है या सबफैक्टोरियल नोटेशन !n का उपयोग करके लिखा जाता है। विस्मयादिबोधक चिह्न संख्या से पहले आता है, जो सामान्य फैक्टोरियल n! के विपरीत है जहाँ यह बाद में आता है।

डीरेंजमेंट सूत्र

1. समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) सूत्र

D(n) = n! × [1 − 1/1! + 1/2! − 1/3! + 1/4! − … + (−1)ⁿ/n!]

D(n) = n! × Σₖ₌₀ⁿ (−1)ᵏ / k!

2. पुनरावृत्ति (Recurrence) संबंध

D(n) = (n−1) × [D(n−1) + D(n−2)] n ≥ 2 के लिए

आधार मामले (Base cases): D(0) = 1, D(1) = 0

3. निकटतम पूर्णांक सूत्र (n ≥ 1 के लिए)

D(n) = round(n! / e)

हैट-चेक समस्या (The Hat-Check Problem)

हैट-चेक समस्या डीरेंजमेंट का सबसे प्रसिद्ध अनुप्रयोग है। परिदृश्य: n मेहमान एक पार्टी में आते हैं और अपनी टोपी जमा करते हैं। एक भुलक्कड़ परिचारक टोपियों को पूरी तरह से यादृच्छिक क्रम में लौटाता है। क्या प्रायिकता है कि किसी भी मेहमान को अपनी टोपी वापस न मिले?

P(किसी को अपनी टोपी न मिले) = D(n) / n!

जैसे-जैसे n बढ़ता है, यह प्रायिकता बहुत तेजी से 1/e ≈ 36.79% पर आ जाती है। n = 10 के लिए भी प्रायिकता 0.367879... है।

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

सीक्रेट सांता (Secret Santa): n लोगों के एक समूह में प्रत्येक व्यक्ति को बिल्कुल एक अन्य व्यक्ति के लिए उपहार खरीदना होता है (खुद के लिए नहीं)। मान्य Secret Santa व्यवस्थाओं की संख्या D(n) होती है।
लिफाफा भरने की समस्या: यदि 3 पत्रों को यादृच्छिक रूप से 3 लिफाफों में डाला जाता है, तो D(3) = 2 तरीके देता है जिससे सभी पत्र गलत लिफाफे में चले जाते हैं। प्रायिकता D(3)/3! = 2/6 = 1/3 ≈ 33.3% है।
क्रिप्टोग्राफी: डीरेंजमेंट प्रतिस्थापन क्रमपरिवर्तन (substitution permutations) के विश्लेषण में दिखाई देते हैं जहां एक मान को कभी भी स्वयं पर मैप नहीं होना चाहिए।