गामा फलन कैलकुलेटर — Γ(x)
लैंकोस सन्निकटन (Lanczos approximation) का उपयोग करके किसी भी वास्तविक संख्या के लिए Γ(x) की गणना करें
त्वरित उदाहरण (Quick Examples)
0, −1, −2, −3, ... को छोड़कर कोई भी वास्तविक संख्या
मुख्य सूत्र (Key Formulas)
चरण-दर-चरण समाधान (Step-by-Step Solution)
Γ(x) के विशेष मान (Special Values of Γ(x))
| x | Γ(x) | सटीक रूप (Exact Form) | विवरण (Notes) |
|---|---|---|---|
| 1/2 | 1.7724538509 | √π | आधा-पूर्णांक, गाऊसी समाकलन |
| 1 | 1 | 0! = 1 | परिभाषा के अनुसार Γ(1) = 1 |
| 3/2 | 0.8862269255 | √π / 2 | ½ · Γ(1/2) |
| 2 | 1 | 1! = 1 | Γ(2) = 1 |
| 5/2 | 1.3293403882 | 3√π / 4 | दोहरा क्रमगुणित रूप |
| 3 | 2 | 2! = 2 | Γ(3) = 2 |
| 4 | 6 | 3! = 6 | Γ(4) = 6 |
| 5 | 24 | 4! = 24 | Γ(5) = 24 |
| 6 | 120 | 5! = 120 | Γ(6) = 120 |
| −1/2 | −3.5449077018 | −2√π | ऋणात्मक आधा-पूर्णांक |
| −3/2 | 2.3632718012 | 4√π / 3 | एकांतर चिह्न पैटर्न |
Γ(x) ग्राफ — x ∈ [−4, 5]
सटीक Γ(x) मानों को देखने के लिए ग्राफ पर माउस ले जाएं। लाल खंडित रेखाएं x = 0, −1, −2, −3 पर ध्रुवों (poles) को दर्शाती हैं। [−10, 10] के बाहर के मानों को काट दिया गया है।
Γ(x) मान — x: 0.1 से 10 (चरण 0.1)
हाइलाइट की गई (पीली) पंक्तियाँ धनात्मक पूर्णांक हैं जहाँ Γ(n) = (n−1)! होता है। बैंगनी मान ऋणात्मक Γ(x) दर्शाते हैं।
| x | Γ(x) | ln|Γ(x)| | विवरण |
|---|
गामा फलन Γ(x) क्या है?
गामा फलन (Gamma Function), जिसे Γ(x) (ग्रीक अक्षर गामा) से दर्शाया जाता है, गणित के सबसे महत्वपूर्ण विशेष फलनों में से एक है। इसे 1729 में स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर द्वारा सभी वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के लिए क्रमगुणित (factorial) फलन के सामान्यीकरण के रूप में पेश किया गया था। जबकि फैक्टोरियल n! केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित है, गामा फलन इस अवधारणा को शून्य और ऋणात्मक पूर्णांकों (0, −1, −2, −3, ...) को छोड़कर पूरी वास्तविक रेखा पर सुचारू रूप से विस्तारित करता है।
इसकी औपचारिक परिभाषा दूसरे प्रकार के यूलर समाकलन (Euler integral of the second kind) द्वारा दी गई है:
Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x−1) · e^(−t) dt (x > 0 के लिए वैध)
यह समाकलन सकारात्मक वास्तविक भागों वाली सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अभिसरित (converge) होता है। ऋणात्मक गैर-पूर्णांक मानों के लिए, Γ(x) को पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से परिभाषित किया जाता है।
क्रमगुणित संबंध: Γ(n) = (n−1)!
गामा फलन का सबसे प्रसिद्ध गुण फैक्टोरियल के साथ इसका संबंध है। किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए:
Γ(n) = (n − 1)! → Γ(1)=1, Γ(2)=1, Γ(3)=2, Γ(4)=6, Γ(5)=24
इसका अर्थ है कि गामा फलन एक सुचारू वक्र है जो बिंदुओं (1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 6), (5, 24), (6, 120), ... से होकर गुजरता है — यानी फैक्टोरियल के बिंदुओं को आपस में जोड़ता है।
पुनरावृत्ति संबंध (Recurrence Relation): Γ(x+1) = x·Γ(x)
इसका बुनियादी संबंध इस प्रकार है:
Γ(x + 1) = x · Γ(x)
यह फैक्टोरियल पहचान (n+1)! = (n+1)·n! को दर्शाता है। यह पुनरावृत्ति संबंध ऋणात्मक गैर-पूर्णांक मानों को भी Γ(x) = Γ(x+1)/x के रूप में विस्तारित करने की अनुमति देता है।
यूलर का परावर्तन सूत्र (Euler's Reflection Formula)
यूलर ने Γ(x) और Γ(1−x) को जोड़ने वाले एक सुंदर सममित सूत्र की खोज की:
Γ(x) · Γ(1 − x) = π / sin(πx)
यह सूत्र गामा फलन को त्रिकोणमिति से जोड़ता है। x = 1/2 पर, यह Γ(1/2) = √π देता है। परावर्तन सूत्र का उपयोग एल्गोरिथम के रूप में भी किया जाता है: x < 0.5 के लिए Γ(x) की गणना करने के लिए, पहले Γ(1−x) की गणना की जाती है और फिर परावर्तन सूत्र लागू किया जाता है।