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समतलीय ग्राफ चेकर

यूलर का सूत्र · कुराटोव्स्की प्रमेय · K5/K3,3 खोज · जीनस कैलकुलेटर

निर्धारित करें कि क्या कोई ग्राफ यूलर के सूत्र (V-E+F=2), किनारों की सीमा की जांच, द्विपक्षीय सीमाओं और K5/K3,3 उप-विभाजन खोज का उपयोग करके समतलीय (planar) है। शुरू करने के लिए किनारों की एक सूची दर्ज करें।

त्वरित उदाहरण (Quick Examples)

किनारों की सूची (Edge List - Undirected) — प्रारूप: 1-2, 1-3, 2-3 या प्रति पंक्ति एक किनारा

पूर्णांक या एकल-अक्षर वाले लेबल का समर्थन करता है। पूर्ण K5/K3,3 उप-विभाजन जांच के लिए अधिकतम 12 नोड्स।

समतलीयता का निर्णय (Verdict)

समतलीय है?

—

निर्णय

शीर्ष V (Vertices)

—

शीर्षों की संख्या

किनारे E (Edges)

—

किनारों की संख्या

यूलर χ = V−E+F

—

यूलर विशेषता

फलक F (Faces)

—

यदि समतलीय हो

चरण-दर-चरण विश्लेषण (Reasoning)

ग्राफ के गुण (Graph Properties)

ग्राफ विज़ुअलाइज़ेशन (Graph Visualization)

समतलीय ग्राफ (Planar Graph) क्या है?

एक समतलीय ग्राफ वह ग्राफ होता है जिसे समतल सतह पर इस प्रकार खींचा जा सकता है कि इसके कोई भी दो किनारे एक-दूसरे को न काटें (सिवाय उनके साझा शीर्षों के)।

यूलर का सूत्र: V − E + F = 2

यूलर का सूत्र बताता है कि किसी जुड़े हुए समतलीय ग्राफ के लिए:

V − E + F = 2

जहाँ V शीर्ष, E किनारे और F फलक (faces) हैं। इससे निम्नलिखित आवश्यक शर्तें प्राप्त होती हैं:

V ≥ 3 के लिए: E ≤ 3V − 6
द्विपक्षीय (bipartite) ग्राफ के लिए: E ≤ 2V − 4

कुराटोव्स्की प्रमेय (Kuratowski's Theorem)

कुराटोव्स्की प्रमेय के अनुसार: कोई ग्राफ समतलीय है यदि और केवल यदि उसमें K5 (5 शीर्षों वाला पूर्ण ग्राफ) या K3,3 (3+3 द्विपक्षीय ग्राफ) का कोई उप-विभाजन (subdivision) शामिल न हो। K5 और K3,3 सबसे सरल गैर-समतलीय (non-planar) ग्राफ हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

समतलीय ग्राफ क्या है?

एक समतलीय ग्राफ वह ग्राफ होता है जिसे समतल सतह पर बिना किसी किनारों के कटान के खींचा जा सकता है।

समतलीय ग्राफ के लिए यूलर का सूत्र क्या है?

जुड़े हुए समतलीय ग्राफ के लिए सूत्र V - E + F = 2 है। यह शीर्षों, किनारों और फलकों (faces) के संबंध को दर्शाता है।