स्टिरलिंग संख्या कैलकुलेटर

स्टिरलिंग संख्याएँ क्या हैं?

स्टिरलिंग संख्याएँ (Stirling Numbers) पूर्णांकों के दो वर्ग हैं जिन्हें स्कॉटिश गणितज्ञ जेम्स स्टिरलिंग (1692-1770) ने 1730 में अपने प्रसिद्ध काम मेथोडस डिफरेंशियलिस में पेश किया था। ये संयोजन विज्ञान, प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में बहुत महत्वपूर्ण स्थान रखती हैं। साधारण घातों को फैक्टोरियल घातों से जोड़ने में इनका मुख्य योगदान है।

द्वितीय श्रेणी की स्टिरलिंग संख्याएँ — S(n, k)

द्वितीय श्रेणी की स्टिरलिंग संख्या S(n, k) (जिसे {n choose k} के रूप में भी लिखा जाता है) n अलग-अलग तत्वों के एक सेट को k गैर-खाली और अक्रमित उपसमुच्चयों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या दर्शाती है। चूँकि उपसमुच्चय अक्रमित हैं, इसलिए {1,2} और {3,4} में विभाजन तथा {3,4} और {1,2} में विभाजन एक ही माना जाता है।

इसका मूल पुनरावृत्ति संबंध है:

S(n,k) = k · S(n-1,k) + S(n-1,k-1)

संयोजन प्रमाण: n-वें तत्व के पास दो विकल्प हैं — या तो वह पहले से मौजूद k ब्लॉकों में से किसी एक में शामिल हो जाए (k · S(n-1,k) तरीके) या वह अपना स्वयं का नया एकल ब्लॉक (singleton block) बनाए (S(n-1,k-1) तरीके)। इसके आधार मान S(0,0)=1 और S(n,0)=S(0,k)=0 (n,k > 0 के लिए) हैं।

प्रथम श्रेणी की स्टिरलिंग संख्याएँ — s(n, k)

प्रथम श्रेणी की अहस्ताक्षरित स्टिरलिंग संख्या s(n, k) n तत्वों के उन क्रमचयों (permutations) की संख्या दर्शाती है जिनमें ठीक k असंयुक्त चक्र (disjoint cycles) होते हैं। उदाहरण के लिए, सेट {1,2,3,4,5} के क्रमचय (1 2 3)(4 5) में 2 चक्र हैं, इसलिए इसे s(5,2) में गिना जाएगा।

इसका पुनरावृत्ति संबंध है:

s(n,k) = (n-1) · s(n-1,k) + s(n-1,k-1)

हस्ताक्षरित स्टिरलिंग संख्याएँ ⌊n k⌋ = (-1)^(n-k) · s(n,k) घटते फैक्टोरियल को साधारण घातों में विस्तारित करने में काम आती हैं।

बेल संख्याएँ — B(n)

बेल संख्याएँ (Bell Numbers) B(n) किसी n-तत्वों वाले सेट के कुल संभव विभाजनों की संख्या की गणना करती हैं, जिसमें ब्लॉकों की संख्या कुछ भी हो सकती है:

B(n) = S(n,0) + S(n,1) + ··· + S(n,n)

यह श्रृंखला बहुत तेजी से बढ़ती है। इसके शुरुआती मान हैं: B(0)=1, B(1)=1, B(2)=2, B(3)=5, B(4)=15, B(5)=52, B(6)=203, B(7)=877, B(8)=4140, B(9)=21147, B(10)=115975।

अनुप्रयोग

• सेट विभाजन (Set Partitions): मशीन लर्निंग (क्लस्टरिंग), रसायन विज्ञान (अणु विन्यास) और डेटाबेस सिद्धांत में S(n,k) सेट विभाजन की गणना करता है।
• प्रायिकता (Occupancy Problems): n गेंदों को m बक्सों में यादृच्छिक रूप से फेंकने पर ठीक k बक्से भरने की प्रायिकता S(n,k) पर निर्भर करती है।
• Permutation Statistics: s(n,k) का उपयोग यादृच्छिक क्रमचयों और ताश के पत्तों के फेरबदल (shuffling) के विश्लेषण में किया जाता है।
• जेनरेटिंग फंक्शन्स (Generating Functions): बेल संख्याएँ जेनरेटिंग फंक्शन्स और घातांकीय फलनों के विस्तार में महत्वपूर्ण हैं।