बीटा फलन कैलकुलेटर
B(x,y) = Γ(x)·Γ(y)/Γ(x+y) — ऑयलर समाकल प्रथम प्रकार को चरण-दर-चरण हल के साथ कैलकुलेट करें
मुख्य सूत्र
गामा: B(x,y) = Γ(x)·Γ(y) / Γ(x+y)
सममिति: B(x,y) = B(y,x)
चरण-दर-चरण हल
बीटा फलन क्या है?
बीटा फलन B(x,y) — जिसे ग्रीक अक्षरों में Β(α,β) भी लिखा जाता है — एक विशेष गणितीय फलन है जिसे ऑयलर समाकल प्रथम प्रकार कहा जाता है। यह सभी वास्तविक संख्याओं x > 0 और y > 0 के लिए निम्नलिखित समाकल द्वारा परिभाषित है:
बीटा फलन गामा फलन Γ से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है, जो गुणनफल को वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करता है। यह संबंध निम्न प्रकार व्यक्त होता है:
यह संबंध किसी भी धनात्मक वास्तविक तर्कों के लिए गामा फलन के लांज़ोस सन्निकटन का उपयोग करके बीटा फलन को कुशलतापूर्वक गणना करने की अनुमति देता है — यही यह कैलकुलेटर करता है। प्रांत x > 0 और y > 0 है; शून्य और ऋणात्मक पूर्णांकों पर फलन अपरिभाषित (अनंत) हो जाता है।
बीटा फलन का सूत्र
बीटा फलन कई महत्वपूर्ण सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करता है:
गामा संबंध: B(x,y) = Γ(x)·Γ(y) / Γ(x+y)
सममिति गुण: B(x,y) = B(y,x)
पुनरावृत्ति: B(x+1,y) = x/(x+y) · B(x,y)
विशेष मामला: B(x,1) = 1/x
सममिति गुण B(x,y) = B(y,x) गामा सूत्र से तुरंत प्राप्त होती है क्योंकि Γ(x)Γ(y) = Γ(y)Γ(x) और Γ(x+y) = Γ(y+x)। पुनरावृत्ति संबंध B(x+1,y) को B(x,y) से जोड़ता है, जिससे पूर्णांक तर्कों के लिए कुशल गणना संभव होती है।
विशेष मानों की तालिका
| x | y | B(x,y) | टिप्पणी |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | B(1,1) = Γ(1)²/Γ(2) = 1 |
| 1/2 | 1/2 | π ≈ 3.14159 | Γ(½)=√π के माध्यम से प्रसिद्ध परिणाम |
| 2 | 2 | 1/6 ≈ 0.16667 | Γ(2)²/Γ(4) = 1/6 |
| 2 | 3 | 1/12 ≈ 0.08333 | Γ(2)Γ(3)/Γ(5) = 1/12 |
| 3 | 3 | 1/30 ≈ 0.03333 | Γ(3)²/Γ(6) = 1/30 |
| 1 | n | 1/n | सामान्य: B(1,n) = 1/n |
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — B(2, 3)
धनात्मक पूर्णांकों के लिए Γ(n) = (n−1)! के साथ गामा संबंध का उपयोग करते हुए:
Γ(3) = 2! = 2
Γ(2+3) = Γ(5) = 4! = 24
B(2,3) = Γ(2)·Γ(3) / Γ(5) = 1·2 / 24 = 2/24 = 1/12 ≈ 0.083333
इसे समाकल से भी सत्यापित किया जा सकता है: ∫₀¹ t(1-t)² dt = ∫₀¹ (t - 2t² + t³) dt = 1/2 − 2/3 + 1/4 = 1/12।
उदाहरण 2 — B(1/2, 1/2) = π
गणितीय विश्लेषण में सबसे प्रसिद्ध सर्वसमिकाओं में से एक:
Γ(1/2 + 1/2) = Γ(1) = 1
B(1/2, 1/2) = Γ(1/2)·Γ(1/2) / Γ(1) = √π · √π / 1 = π
यह परिणाम बीटा फलन को वृत्त स्थिरांक π से समाकल ∫₀¹ t^(-1/2)(1-t)^(-1/2) dt = π के माध्यम से जोड़ता है।
उदाहरण 3 — B(1, n) = 1/n
किसी भी धनात्मक पूर्णांक (या वास्तविक) n के लिए:
यह हार्मोनिक श्रेणी को सामान्यीकृत करता है: B(1,1)=1, B(1,2)=1/2, B(1,3)=1/3, इत्यादि। गैर-पूर्णांक n के लिए भी वही सूत्र बिल्कुल सही है।
बीटा फलन के अनुप्रयोग
- प्रायिकता — बीटा वितरण: बीटा वितरण PDF f(x;α,β) = x^(α-1)(1-x)^(β-1) / B(α,β) [0,1] तक सीमित यादृच्छिक चर जैसे अनुपात, प्रायिकताएं और दरों को मॉडल करता है।
- बेयसियन सांख्यिकी: बीटा वितरण बर्नूली और द्विपद संभावना के लिए संयुग्मी पूर्व प्रायिकता है, जो इसे बेयसियन A/B परीक्षण और क्लिक-थ्रू-रेट मॉडलिंग का मुख्य आधार बनाती है।
- संयोजन विज्ञान: द्विपद गुणांक C(n,k) को 1/((n+1)·B(k+1, n-k+1)) = C(n,k) के रूप में संतुष्ट किया जाता है, जो संयोजन विज्ञान को सीधे बीटा फलन से जोड़ता है।
- भौतिकी — प्रकीर्णन आयाम: प्रारंभिक स्ट्रिंग सिद्धांत में वेनेजियानो आयाम बीटा फलनों B(−α(s), −α(t)) के योग के रूप में व्यक्त होता है, एक ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण परिणाम।
- समाकलन: त्रिकोणमितीय फलनों की घातों वाले अनेक निश्चित समाकल t = sin²θ प्रतिस्थापन द्वारा बीटा फलन मानों तक सीमित होते हैं।
- संकेत प्रसंस्करण: बीटा वितरण कुछ संचार प्रणालियों में शोर और चैनल त्रुटि प्रायिकताओं का मॉडल करता है।