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त्रिकोणमिति कैलकुलेटर

Sin, Cos, Tan और सभी 6 फलन · समकोण और विषमकोण त्रिभुज सॉल्वर · विपरीत त्रिकोणमिति · सर्वसमिका सत्यापन

सभी 6 त्रिकोणमितीय फलन

sin, cos, tan, cot, sec, csc — एक साथ गणना

कोण (डिग्री में)

त्वरित कोण प्रीसेट (Quick Angle Presets)

समकोण त्रिभुज सॉल्वर (Right Triangle Solver)

कोई भी 2 मान दर्ज करें — कोण A (°), भुजा a, भुजा b, या कर्ण c

SOH-CAH-TOA संदर्भ (Reference)

sin(A) = a/c cos(A) = b/c tan(A) = a/b

a = लम्ब (Opposite) · b = आधार (Adjacent) · c = कर्ण (Hypotenuse) · कोण C = 90°

कोण A (°)

भुजा a (लम्ब)

भुजा b (आधार)

भुजा c (कर्ण)

विषमकोण त्रिभुज सॉल्वर (Oblique Triangle Solver)

ज्या (Sines) और कोज्या (Cosines) का नियम — कोई भी 3 मान दर्ज करें (SSS, SAS, ASA, AAS, SSA)

ज्या का नियम (Law of Sines)

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

कोज्या का नियम (Law of Cosines)

c² = a² + b² − 2ab·cos(C)

भुजाएँ (Sides)

भुजा a

भुजा b

भुजा c

कोण (°)

कोण A

कोण B

कोण C

ध्यान दें

सटीक 3 मान दर्ज करें। कोण उनके सामने वाली भुजाओं के विपरीत होते हैं (भुजा a कोण A के विपरीत है)।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका सत्यापन (Trigonometric Identity Verifier)

एक सर्वसमिका चुनें और यह सत्यापित करने के लिए एक कोण दर्ज करें कि दोनों पक्ष बराबर हैं

सर्वसमिका (Identity)

कोण θ (डिग्री में)

सर्वसमिका संदर्भ तालिका (15+ Identities)

हल किए गए उदाहरण (Worked Examples)

उदाहरण 1 — 30° पर त्रिकोणमितीय फलन

sin(30°) = 0.5 cos(30°) = √3/2 ≈ 0.8660 tan(30°) = 1/√3 ≈ 0.5774 cot(30°) = √3 ≈ 1.7321 sec(30°) = 2/√3 ≈ 1.1547 csc(30°) = 2

उदाहरण 2 — समकोण त्रिभुज: A=35°, c=10

sin(35°) = a/c a = 10 × sin(35°) = 5.736 cos(35°) = b/c b = 10 × cos(35°) = 8.192 B = 90° − 35° = 55° Area = ½ × 5.736 × 8.192 = 23.49

उदाहरण 3 — विषमकोण SSS: a=5, b=7, c=9

cos(A)=(b²+c²−a²)/(2bc) =(49+81−25)/(126) =0.833 → A=33.56° cos(B)=(a²+c²−b²)/(2ac) =0.583 → B=54.31° C=180°−33.56°−54.31°=92.12° Area=√[s(s−a)(s−b)(s−c)]=17.41

महत्वपूर्ण कोणों के मान (Common Angle Values)

कोण (Angle)	रेडियन (Radians)	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	√3/2	1/√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3
90°	π/2	1	0	अपरिभाषित
120°	2π/3	√3/2	−1/2	−√3
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	अपरिभाषित
360°	2π	0	1	0

त्रिकोणमिति कैलकुलेटर — संपूर्ण गाइड (Trigonometry Guide)

त्रिकोणमिति (Trigonometry) गणित की वह शाखा है जो त्रिभुज के कोणों और उसकी भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन करती है। ग्रीक शब्द trigonon (त्रिभुज) और metron (माप) से मिलकर बना त्रिकोणमिति विज्ञान, इंजीनियरिंग, वास्तुकला, कंप्यूटर ग्राफिक्स और नेविगेशन का आधार है। यह कैलकुलेटर आपको सभी छह त्रिकोणमितीय फलनों, उनके विपरीत फलनों, समकोण और विषमकोण त्रिभुजों के हलों और सर्वसमिकाओं के सत्यापन की सुविधा एक ही स्थान पर प्रदान करता है।

इकाई वृत्त (Unit Circle) और कोण मापन

इकाई वृत्त (एक ऐसा वृत्त जिसकी त्रिज्या 1 होती है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर होता है) आधुनिक त्रिकोणमिति का आधार है। इकाई वृत्त पर स्थित प्रत्येक बिंदु एक कोण θ को दर्शाता है, जहाँ x-निर्देशांक cos(θ) के बराबर और y-निर्देशांक sin(θ) के बराबर होता है। यह परिभाषा त्रिकोणमितीय फलनों को न्यूनकोणों से आगे बढ़ाकर सभी वास्तविक संख्याओं तक ले जाती है, जिससे तरंगों और आवर्ती घटनाओं का मॉडल बनाना संभव होता है।

कोणों को डिग्री (एक पूर्ण वृत्त के लिए 0° से 360°) या रेडियन (एक पूर्ण वृत्त के लिए 0 से 2π) में मापा जाता है। गणितीय और भौतिकी गणनाओं में रेडियन को अधिक उपयुक्त माना जाता है। डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए कोण को π/180 से गुणा किया जाता है, जबकि रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए 180/π से गुणा किया जाता है।

छह बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन

किसी समकोण त्रिभुज में सम्मुख भुजा या लम्ब (a), संलग्न भुजा या आधार (b) और कर्ण (c) के संदर्भ में किसी कोण θ के लिए छह फलन इस प्रकार परिभाषित हैं:

साइन (sin θ) = सम्मुख भुजा / कर्ण = a/c
कोसाइन (cos θ) = संलग्न भुजा / कर्ण = b/c
टेंजेंट (tan θ) = सम्मुख भुजा / संलग्न भुजा = sin θ / cos θ = a/b
कोटेंजेंट (cot θ) = संलग्न भुजा / सम्मुख भुजा = cos θ / sin θ = 1/tan θ = b/a
सीकेंट (sec θ) = कर्ण / संलग्न भुजा = 1/cos θ = c/b
कोसीकेंट (csc/cosec θ) = कर्ण / सम्मुख भुजा = 1/sin θ = c/a

ध्यान दें कि tan(90°), sec(90°), cot(0°), और cosec(0°) के मान गणितीय रूप से अपरिभाषित हैं क्योंकि इनमें शून्य से विभाजन की स्थिति बनती है। यह कैलकुलेटर इन स्थितियों को स्वचालित रूप से पहचानता है और उन्हें स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।

SOH-CAH-TOA और समकोण त्रिभुज हल करना

SOH-CAH-TOA त्रिकोणमिति में भुजाओं के अनुपातों को याद रखने की सबसे लोकप्रिय युक्ति है। यह याद दिलाती है कि Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, और Tan = Opposite/Adjacent। समकोण त्रिभुज के किन्हीं भी दो मानों (एक कोण और एक भुजा, या कोई दो भुजाएँ) की सहायता से आप शेष सभी कोण और भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं। जब दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो पाइथागोरस प्रमेय (a² + b² = c²) का उपयोग किया जाता है।

इस कैलकुलेटर का समकोण त्रिभुज सॉल्वर इनपुट के आधार पर सही सूत्र शृंखला का चयन करता है और विस्तृत गणना प्रक्रिया दिखाता है।

ज्या का नियम (Law of Sines) और कोज्या का नियम (Law of Cosines)

गैर-समकोण (विषमकोण) त्रिभुजों को हल करने के लिए दो मुख्य नियमों का उपयोग किया जाता है:

ज्या का नियम (Law of Sines): यह नियम बताता है कि a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) होता है। यह ASA, AAS और SSA मामलों को हल करने के लिए उपयुक्त है। SSA (Side-Side-Angle) मामला विशेष है, क्योंकि इसे "संदिग्ध मामला" (Ambiguous Case) कहा जाता है जहाँ एक ही डेटा के साथ दो अलग-अलग त्रिभुज बन सकते हैं।

कोज्या का नियम (Law of Cosines): यह पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्य रूप है: c² = a² + b² − 2ab·cos(C)। यह SSS (तीनों भुजाएँ ज्ञात होने पर) और SAS (दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात होने पर) मामलों को हल करता है। SSS मामले में, हेरॉन के सूत्र (Heron's Formula) की सहायता से क्षेत्रफल निकाला जाता है: क्षेत्रफल = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], जहाँ अर्ध-परिधि s = (a+b+c)/2 है।

विपरीत त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trig Functions)

विपरीत त्रिकोणमितीय फलन यह बताते हैं कि "किस कोण पर यह मान प्राप्त होता है?" arcsin(x) वह कोण देता है जिसका साइन x है, arccos(x) वह कोण देता है जिसका कोसाइन x है, और arctan(x) वह कोण देता है जिसका टेंजेंट x है। arcsin और arccos का डोमेन [−1, 1] तक सीमित होता है, जबकि arctan किसी भी वास्तविक संख्या को स्वीकार करता है। परिणाम डिग्री और रेडियन दोनों में प्रदर्शित किए जाते हैं।

त्रिकोणमिति के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति का व्यावहारिक जीवन में अनगिनत उपयोग है। वास्तुकला और सिविल इंजीनियरिंग में इसका उपयोग छतों की ढलान, पुलों के तनाव और संरचनात्मक भारों की गणना के लिए किया जाता है। विमानन और नौवहन में पायलट और नाविक अपनी स्थिति और दिशा निर्धारित करने के लिए ज्या और कोज्या नियमों का उपयोग करते हैं। वर्तमान समय की GPS प्रणालियाँ त्रिकोणमितीय गणनाओं की मदद से ही आपकी सटीक स्थिति का पता लगा पाती हैं। कंप्यूटर गेम और 3D ग्राफ़िक्स में प्रत्येक रोटेशन और विज़ुअल ट्रांसफ़ॉर्मेशन त्रिकोणमितीय मैट्रिक्स पर निर्भर करता है। इसके अलावा, तरंगों का विश्लेषण, ध्वनि इंजीनियरिंग, चिकित्सा इमेजिंग (जैसे CT स्कैन और MRI) और भौतिकी में प्रकाशिकी व ध्वनि के नियम भी त्रिकोणमितीय समीकरणों के माध्यम से ही समझे जाते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (Frequently Asked Questions)

SOH-CAH-TOA क्या है?

SOH-CAH-TOA समकोण त्रिभुज में तीन प्राथमिक त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखने का एक संक्षिप्त नाम (mnemonic) है। SOH: Sine = Opposite / Hypotenuse (लम्ब / कर्ण)। CAH: Cosine = Adjacent / Hypotenuse (आधार / कर्ण)। TOA: Tangent = Opposite / Adjacent (लम्ब / आधार)। यह याद रखने में मदद करता है कि कोण की गणना करते समय त्रिभुज की किन भुजाओं का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, यदि कोण A = 35° और कर्ण 10 है, तो विपरीत भुजा (a) = 10 × sin(35°) ≈ 5.74 होगी।

डिग्री और रेडियन में क्या अंतर है?

डिग्री और रेडियन कोण मापने की दो इकाइयाँ हैं। एक पूर्ण चक्र 360 डिग्री या 2π रेडियन होता है। डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, π/180 से गुणा करें। रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, 180/π से गुणा करें। मुख्य मान: 90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π। गणित और भौतिकी में रेडियन को प्राकृतिक इकाई माना जाता है क्योंकि इससे कई सूत्र सरल हो जाते हैं - जैसे कि चाप की लंबाई का सूत्र s = rθ केवल तभी काम करता है जब θ रेडियन में हो।

मैं समकोण त्रिभुज को कैसे हल करूँ?

समकोण त्रिभुज को हल करने के लिए आपको कम से कम 2 मानों की आवश्यकता होती है (जिसमें कम से कम एक भुजा की लंबाई होनी चाहिए)। मुख्य संबंध हैं: sin(A) = a/c, cos(A) = b/c, tan(A) = a/b, और पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c²। तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है, जिसमें एक कोण ठीक 90° होता है। यह कैलकुलेटर आपके इनपुट संयोजन (कोण + भुजा, दो भुजाएँ आदि) के आधार पर सही सूत्र चुनकर स्वचालित रूप से हल करता है और चरण-दर-चरण कार्यविधि दिखाता है।

6 त्रिकोणमितीय फलन कौन से हैं?

छह त्रिकोणमितीय फलन इस प्रकार हैं: sin(θ) = लम्ब/कर्ण, cos(θ) = आधार/कर्ण, tan(θ) = लम्ब/आधार, cot(θ) = आधार/लम्ब = 1/tan(θ), sec(θ) = कर्ण/आधार = 1/cos(θ), और csc(θ) (कोसीकेंट) = कर्ण/लम्ब = 1/sin(θ)। Cot, sec और csc क्रमशः tan, cos और sin के व्युत्क्रम हैं। tan और sec तब अपरिभाषित होते हैं जब cos(θ) = 0 (90°, 270° पर)। cot और csc तब अपरिभाषित होते हैं जब sin(θ) = 0 (0°, 180°, 360° पर)।

ज्या के नियम (Law of Sines) का उपयोग किस लिए किया जाता है?

ज्या का नियम (a/sin A = b/sin B = c/sin C) विषमकोण (गैर-समकोण) त्रिभुजों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह मुख्य रूप से ASA, AAS और SSA मामलों में मददगार होता है। ASA में दो कोण और उनके बीच की भुजा ज्ञात होती है, AAS में दो कोण और एक अन्य भुजा ज्ञात होती है। SSA एक संदिग्ध मामला (Ambiguous Case) है जहाँ दो भुजाएँ और एक विपरीत कोण ज्ञात होता है - इसमें 0, 1 या 2 संभावित त्रिभुज बन सकते हैं। यह कैलकुलेटर इन संदिग्ध स्थितियों को पहचानता है और उन्हें इंगित करता है।

पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ क्या हैं?

तीन प्रमुख पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ हैं: (1) sin²θ + cos²θ = 1 — यह सबसे बुनियादी सर्वसमिका है जिसे इकाई वृत्त पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करके सीधे निकाला जा सकता है; (2) 1 + tan²θ = sec²θ — यह पहली सर्वसमिका को cos²θ से विभाजित करके प्राप्त होती है; (3) 1 + cot²θ = csc²θ — यह पहली सर्वसमिका को sin²θ से विभाजित करके प्राप्त होती है। इन सर्वसमिकाओं का उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरल बनाने और हल करने में किया जाता है।

डिग्री को रेडियन में कैसे बदलें?

डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, डिग्री कोण को π/180 (लगभग 0.017453) से गुणा करें। सामान्य मान: 30° = π/6 ≈ 0.5236 रेडियन, 45° = π/4 ≈ 0.7854 रेडियन, 60° = π/3 ≈ 1.0472 रेडियन, 90° = π/2 ≈ 1.5708 रेडियन, 180° = π ≈ 3.1416 रेडियन, 270° = 3π/2 ≈ 4.7124 रेडियन, 360° = 2π ≈ 6.2832 रेडियन। विपरीत करने के लिए 180/π से गुणा करें। यह कैलकुलेटर दोनों इकाइयों का समर्थन करता है - आप जब चाहें DEG/RAD टॉगल से इकाई बदल सकते हैं।