द्विघात समीकरण के कितने मूल होते हैं?

द्विघात समीकरण के हमेशा ठीक दो मूल होते हैं। यदि विविक्तकर (b²−4ac) धनात्मक है, तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। यदि यह शून्य के बराबर है, तो एक पुनरावृत्त वास्तविक मूल होता है। यदि यह ऋणात्मक है, तो बिना किसी वास्तविक हल के दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल होते हैं।

विविक्तकर द्विघात समीकरण के बारे में हमें क्या बताता है?

विविक्तकर D = b²−4ac आपको समीकरण को पूरी तरह हल किए बिना मूलों की प्रकृति बताता है। D > 0 का अर्थ दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 का अर्थ एक पुनरावृत्त वास्तविक मूल (परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर छूता है), और D < 0 का अर्थ दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल (परवलय x-अक्ष को नहीं काटता) है।

द्विघात समीकरण में सम्मिश्र मूल क्या होते हैं?

जब विविक्तकर ऋणात्मक होता है, तो किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल शामिल होता है। मूल p ± qi के रूप में व्यक्त किए जाते हैं जहाँ i = √(−1) काल्पनिक इकाई है। सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्म में आते हैं और संख्या रेखा पर उनका कोई वास्तविक-संख्या मान नहीं होता।

द्विघात समीकरण कैलकुलेटर

ax² + bx + c = 0 हल करें — मूल, विविक्तकर, चरण-दर-चरण कार्य और एक इंटरैक्टिव परवलय ग्राफ प्राप्त करें।

x² +

x +

= 0

उदाहरण:

द्विघात समीकरण क्या है?

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 रूप का द्वितीय-घात बहुपद है, जहाँ a ≠ 0 होता है। हल (जिन्हें मूल या शून्यक भी कहते हैं) वे x-मान हैं जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है।

Δ > 0

दो वास्तविक मूल

परवलय x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काटता है।

Δ = 0

एक पुनरावृत्त मूल

परवलय x-अक्ष को ठीक एक बिंदु (शीर्ष) पर छूता है।

Δ < 0

सम्मिश्र मूल

परवलय x-अक्ष को नहीं काटता। मूल संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं।

द्विघात सूत्र

x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)

जहाँ Δ = b²−4ac विविक्तकर है

मुख्य गुणधर्म

▸शीर्ष: (−b/2a, f(−b/2a)) — न्यूनतम या अधिकतम बिंदु।

▸समरूपता अक्ष: ऊर्ध्वाधर रेखा x = −b/2a।

▸Y-अंतःखंड: बिंदु (0, c)।

▸मूलों का योग: x₁ + x₂ = −b/a (वीटा के सूत्रों द्वारा)।

▸मूलों का गुणनफल: x₁ × x₂ = c/a (वीटा के सूत्रों द्वारा)।

▸दिशा: यदि a > 0 तो ऊपर की ओर खुलता है, यदि a < 0 तो नीचे की ओर।

हल किए गए उदाहरण — द्विघात समीकरण

इन चरण-दर-चरण हल किए गए उदाहरणों के साथ द्विघात समीकरण हल करने का अभ्यास करें, जो सभी तीन स्थितियों को कवर करते हैं: दो भिन्न वास्तविक मूल, एक पुनरावृत्त मूल, और सम्मिश्र (काल्पनिक) मूल। किसी भी उदाहरण पर आज़माएँ क्लिक करें ताकि उसे ऊपर कैलकुलेटर में लोड किया जा सके और पूरा हल, ग्राफ तथा गुणधर्म तुरंत देखे जा सकें।

दो भिन्न वास्तविक मूल (Δ > 0)

x² − 5x + 6 = 0

a=1, b=−5, c=6

गुणनखंडनीय

Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1

मूल: x₁ = 3, x₂ = 2

गुणनखंड (x−2)(x−3) = 0

x² − 4 = 0

a=1, b=0, c=−4

वर्गों का अंतर

Δ = 0 − 4(1)(−4) = 16

मूल: x₁ = 2, x₂ = −2

गुणनखंड (x−2)(x+2) = 0

2x² + 3x − 2 = 0

a=2, b=3, c=−2

अनेकपद

Δ = 9 − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25

मूल: x₁ = 0.5, x₂ = −2

गुणनखंड (2x−1)(x+2) = 0

3x² − 7x + 2 = 0

a=3, b=−7, c=2

परिमेय मूल

Δ = 49 − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25

मूल: x₁ = 2, x₂ = 1/3

गुणनखंड (x−2)(3x−1) = 0

एक पुनरावृत्त मूल (Δ = 0)

x² − 2x + 1 = 0

a=1, b=−2, c=1

पूर्ण वर्ग

Δ = 4 − 4(1)(1) = 0

मूल: x = 1 (पुनरावृत्त)

गुणनखंड (x−1)² = 0

x² + 4x + 4 = 0

a=1, b=4, c=4

पूर्ण वर्ग

Δ = 16 − 4(1)(4) = 0

मूल: x = −2 (पुनरावृत्त)

गुणनखंड (x+2)² = 0; शीर्ष (−2, 0) पर

सम्मिश्र (काल्पनिक) मूल (Δ < 0)

x² + x + 1 = 0

a=1, b=1, c=1

सम्मिश्र मूल

Δ = 1 − 4(1)(1) = −3

मूल: −0.5 ± 0.866i

कोई वास्तविक हल नहीं; परवलय x-अक्ष को नहीं काटता

x² + 2x + 5 = 0

a=1, b=2, c=5

संयुग्मी युग्म

Δ = 4 − 4(1)(5) = −16

मूल: −1 ± 2i

सम्मिश्र संयुग्मी मूल; ऊपर की ओर खुलता है, न्यूनतम (−1, 4) पर

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

प्रक्षेप्य गति समस्या

एक गेंद को ज़मीन से 20 मी/से के आरंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर फेंका जाता है। t सेकंड के बाद इसकी ऊँचाई h (मीटर में) इस प्रकार दी गई है h(t) = −5t² + 20t। गेंद कब ज़मीन पर गिरती है यह ज्ञात करने के लिए h = 0 रखें: −5t² + 20t = 0, अर्थात् 5t² − 20t = 0।

समीकरण: 5t² − 20t + 0 = 0 (a=5, b=−20, c=0)

Δ = 400 − 0 = 400

मूल: t = 0 से (प्रक्षेपण) और t = 4 से (अवतरण)

अधिकतम ऊँचाई

20 मी

t = 2 से पर

अवतरण

4 से

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

विविक्तकर क्या है और यह क्यों मायने रखता है?

विविक्तकर (Δ = b²−4ac) आपको बताता है कि समीकरण के कितने वास्तविक हल हैं — बिना उसे पूरी तरह हल किए। Δ > 0 का अर्थ दो भिन्न वास्तविक मूल, Δ = 0 का अर्थ एक पुनरावृत्त वास्तविक मूल, और Δ < 0 का अर्थ कोई वास्तविक मूल नहीं (दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल) है।

यदि a = 0 हो तो क्या होगा?

जब a = 0 होता है, तो समीकरण रैखिक (bx + c = 0) बन जाता है, जिसे अलग तरीके से हल किया जाता है। द्विघात समीकरण के लिए विशेष रूप से a ≠ 0 आवश्यक है।

वीटा के सूत्र कैसे मदद करते हैं?

वीटा के सूत्र समीकरण को हल किए बिना गुणांकों को मूलों से जोड़ते हैं। ax² + bx + c = 0 के लिए: मूलों का योग x₁ + x₂ = −b/a और मूलों का गुणनफल x₁ × x₂ = c/a होता है। ये आपके उत्तर की जाँच करने और ज्ञात मूलों से पीछे की ओर कार्य करने के लिए उपयोगी हैं।

सम्मिश्र मूल क्या होते हैं?

जब Δ < 0 होता है, तो किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल शामिल होता है। मूल p ± qi के रूप में व्यक्त किए जाते हैं जहाँ i = √(−1) काल्पनिक इकाई है। ये हमेशा संयुग्मी युग्म में आते हैं और संख्या रेखा पर इनका कोई वास्तविक-संख्या मान नहीं होता।

क्या मैं गुणांकों के रूप में दशमलव या भिन्न का उपयोग कर सकता हूँ?

हाँ — यह कैलकुलेटर गुणांक के रूप में किसी भी वास्तविक संख्या को स्वीकार करता है, दशमलव सहित। भिन्न के लिए, पहले दशमलव में बदलें (उदा. ½ = 0.5)।