सतत भिन्न कैलकुलेटर
दशमलव को सतत भिन्न में बदलें, कन्वर्जेंट (Convergents) और सर्वोत्तम परिमेय सन्निकटन प्राप्त करें
a₀ दर्ज करें; फिर a₁, a₂, ... — पहला पद कोई भी पूर्णांक हो सकता है, शेष धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
प्रसिद्ध सतत भिन्न (Famous Continued Fractions)
सतत भिन्न (Continued Fraction) क्या है?
एक सतत भिन्न किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक जोड़ और व्युत्क्रम (reciprocals) के अनुक्रम के रूप में लिखने का एक तरीका है। किसी संख्या x के लिए, सतत भिन्न रूप है:
संकेतन (Notation): x = [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]
पूर्णांक a₀, a₁, a₂, ... को आंशिक भागफल (partial quotients) कहा जाता है। पहला पद a₀ = ⌊x⌋ पूर्णांक भाग (floor function) है, और ऋणात्मक सहित कोई भी पूर्णांक हो सकता है। अन्य सभी पद aₙ (n ≥ 1) सकारात्मक पूर्णांक होते हैं।
प्रत्येक परिमेय संख्या (rational number) का सतत भिन्न सीमित होता है। प्रत्येक अपरिमेय संख्या (irrational number) का सतत भिन्न अनंत होता है। द्विघात अपरिमेय (जैसे √2, √3, स्वर्ण अनुपात) के सतत भिन्न आवर्ती (periodic) होते हैं।
दशमलव को सतत भिन्न में कैसे बदलें
यह एल्गोरिथ्म यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का एक सीधा अनुप्रयोग है:
- x लें। a₀ = ⌊x⌋ सेट करें। शेषफल r₀ = x − a₀ ज्ञात करें।
- यदि r₀ ≈ 0, तो रुकें — x एक पूर्णांक है या हम सीमा तक पहुँच गए हैं।
- x को 1/r₀ से बदलें। a₁ = ⌊1/r₀⌋ सेट करें। शेषफल r₁ = 1/r₀ − a₁ ज्ञात करें।
- शेषफल बहुत छोटा होने तक दोहराएं।
हल किया गया उदाहरण: π ≈ 3.14159265358979
| चरण n | मान | aₙ = ⌊मान⌋ | शेषफल |
|---|---|---|---|
| 0 | 3.14159265… | 3 | 0.14159265… |
| 1 | 1/0.14159… = 7.0625… | 7 | 0.06251… |
| 2 | 1/0.06251… = 15.9966… | 15 | 0.99659… |
| 3 | 1/0.99659… = 1.0034… | 1 | 0.0034… |
| 4 | 1/0.0034… = 292.63… | 292 | 0.63… |
परिणाम: π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]
कन्वर्जेंट (Convergents) क्या हैं?
कन्वर्जेंट pₙ/qₙ प्रत्येक चरण पर सतत भिन्न को रोककर (truncate) प्राप्त किए जाते हैं। वे x के सर्वोत्तम परिमेय सन्निकटन (best rational approximations) का अनुक्रम बनाते हैं। इसके आवर्ती सूत्र हैं:
k₋₁ = 0, k₀ = 1, kₙ = aₙ · kₙ₋₁ + kₙ₋₂
कन्वर्जेंट n: pₙ/qₙ = hₙ/kₙ
प्रसिद्ध सतत भिन्न और उनके पैटर्न
स्वर्ण अनुपात (Golden Ratio) φ = [1; 1, 1, 1, ...]
स्वर्ण अनुपात के सभी आंशिक भागफल 1 के बराबर होते हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक कन्वर्जेंट hₙ/kₙ, φ से उतनी ही दूर होता है जितना कि सिद्धांत द्वारा अनुमति दी जाती है, जिससे φ "सबसे अधिक अपरिमेय" संख्या बन जाती है। इसके कन्वर्जेंट फाइबोनैचि संख्या अनुपात हैं: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, ...
यूलर की संख्या e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...]
e का एक सुंदर पैटर्न है। पहले कुछ पदों के बाद, प्रत्येक तीसरा आंशिक भागफल 2, 4, 6, 8, ... (सम संख्याएँ) होता है, जिसके बीच में 1 होता है। इस नियम की खोज स्वयं यूलर ने की थी।
√2 = [1; 2, 2, 2, ...]
यह सबसे सरल आवर्ती सतत भिन्न है। इसके कन्वर्जेंट 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ... हैं, जो पेल (Pell) संख्याएँ हैं।