पलायन वेग कैलकुलेटर (Escape Velocity)
किसी भी ग्रह, चंद्रमा या कस्टम पिंड के लिए पलायन वेग v = √(2GM/r) की गणना करें। कक्षीय वेग और ब्रह्मांडीय वेगों की तुलना करें।
त्वरित चयन (Presets)
एक ग्रह चुनें या कस्टम M और R दर्ज करें, फिर तुरंत पलायन और कक्षीय वेग देखें।
पलायन वेग (Escape Velocity)
km/s
कक्षीय वेग (Orbital Velocity)
km/s
सतह गुरुत्वाकर्षण (Surface Gravity)
m/s²
पलायन (m/s)
m/s
पलायन (mph)
mph
c का अंश (Fraction of c)
× प्रकाश की गति
तीन ब्रह्मांडीय वेग (पृथ्वी)
पलायन वेग क्या है?
पलायन वेग (Escape velocity) वह न्यूनतम गति है जो किसी पिंड को बिना किसी अतिरिक्त प्रणोदन के किसी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से मुक्त होने के लिए प्राप्त करनी होती है। एक बार जब कोई वस्तु इस गति को पार कर लेती है, तो उसके पास ग्रह से बंधे गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा को दूर करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा होती है — वह इंजन के बिना भी कभी वापस नहीं गिरेगी।
महत्वपूर्ण रूप से, पलायन वेग लॉन्च की दिशा (वायुमंडल को छोड़कर) या बचने वाली वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है — यह केवल उस पिंड के द्रव्यमान और लॉन्च त्रिज्या पर निर्भर करता है जिससे बचा जा रहा है।
ऊर्जा संरक्षण से v = √(2GM/r) की व्युत्पत्ति (Derivation)
पलायन वेग पर कुल यांत्रिक ऊर्जा बिल्कुल शून्य होती है — गतिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के बराबर होती है:
दोनों पक्षों से बचने वाली वस्तु का द्रव्यमान m निरस्त (cancel) करें (यह स्पष्ट करता है कि पलायन वेग वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता), और इसे पुनर्व्यवस्थित करें:
यहाँ G = 6.6743×10⁻¹¹ N·m²/kg² (गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक), M = ग्रह का द्रव्यमान (kg), r = केंद्र से दूरी (m)। सतह पर r = R (ग्रह की त्रिज्या)। ऊंचाई h जोड़ने पर r = R + h प्राप्त होता है।
प्रत्येक ग्रह के लिए पलायन वेग की तालिका
| पिंड / ग्रह | v_esc (km/s) | v_orb (km/s) | g (m/s²) |
|---|---|---|---|
| सूर्य (Sun) | 617.7 | 436.8 | 274.0 |
| बुध (Mercury) | 4.25 | 3.01 | 3.70 |
| शुक्र (Venus) | 10.36 | 7.33 | 8.87 |
| पृथ्वी (Earth) | 11.19 | 7.91 | 9.81 |
| चंद्रमा (Moon) | 2.38 | 1.68 | 1.62 |
| मंगल (Mars) | 5.03 | 3.55 | 3.72 |
| बृहस्पति (Jupiter) | 59.54 | 42.10 | 24.79 |
| शनि (Saturn) | 35.49 | 25.10 | 10.44 |
| प्लूटो (Pluto) | 1.22 | 0.86 | 0.62 |
कक्षीय बनाम पलायन वेग
त्रिज्या r पर कक्षीय वेग v_orb = √(GM/r) होता है। पलायन वेग हमेशा उसी त्रिज्या पर कक्षीय वेग का √2 ≈ 1.414 गुना होता है। इसका मतलब है कि 400 किमी की ऊंचाई पर निचली पृथ्वी कक्षा (LEO) में पहले से मौजूद अंतरिक्ष यान को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से पूरी तरह मुक्त होने के लिए अपनी गति में केवल 41.4% वृद्धि की आवश्यकता होती है।
पृथ्वी की निचली कक्षा (400 किमी altitude)
पृथ्वी की सतह
तीन ब्रह्मांडीय वेग (Cosmic Velocities)
प्रथम ब्रह्मांडीय वेग — 7.91 km/s
पृथ्वी की सतह पर कक्षा में बने रहने के लिए न्यूनतम आवश्यक गति। यह सूत्र v = √(GM/R) से प्राप्त होता है। किसी भी कक्षीय उपग्रह को कम से कम इस गति से चलना आवश्यक है।
द्वितीय ब्रह्मांडीय वेग — 11.19 km/s
पृथ्वी का पलायन वेग। इस गति से प्रक्षेपित अंतरिक्ष यान (बिना किसी अतिरिक्त प्रणोदन के) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलकर अंतरग्रहीय अंतरिक्ष में चला जाता है।
तृतीय ब्रह्मांडीय वेग — 16.62 km/s
सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के कक्षीय वेग को ध्यान में रखते हुए, सौर मंडल से पूरी तरह से बाहर निकलने के लिए आवश्यक गति। पायनियर और वोयाजर प्रोब इस वेग को पार कर चुके हैं।
ब्लैक होल और श्वार्जस्शिल्ड त्रिज्या (Schwarzschild Radius)
एक ब्लैक होल तब बनता है जब पदार्थ को इतने सघन रूप से संकुचित किया जाता है कि उसका पलायन वेग प्रकाश की गति c से अधिक हो जाता है। पलायन वेग सूत्र में v_esc = c रखकर श्वार्जस्शिल्ड त्रिज्या (r_s) प्राप्त होती है:
पृथ्वी के लिए r_s ≈ 8.9 मिमी है। सूर्य के लिए r_s ≈ 3 किमी है। r_s से छोटी त्रिज्या वाले क्षेत्र (घटना क्षितिज) से प्रकाश भी बाहर नहीं निकल सकता — इसीलिए इसे "ब्लैक" होल कहा जाता है।
हल किए गए उदाहरण (Worked Examples)
उदाहरण 1 — पृथ्वी की सतह
उदाहरण 2 — चंद्रमा की सतह
उदाहरण 3 — मंगल की सतह
उदाहरण 4 — ISS की ऊंचाई (400 किमी)