गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटर
पृथ्वी की सतह के निकट Ep = mgh या किसी भी दो-पिंड प्रणाली के लिए U = −GMm/r के साथ गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (GPE) की गणना करें। इसमें पलायन वेग, ग्रह प्रीसेट और ऊर्जा इकाई रूपांतरण शामिल हैं।
M = 5.972 × 10²⁴ kg
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा क्या है?
गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा (GPE) वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उसकी स्थिति के कारण होती है। यह किसी संदर्भ बिंदु से वस्तु को उस स्थिति में लाने के लिए गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य का प्रतिनिधित्व करता है। जब वस्तु को छोड़ा जाता है, तो यह संचित ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
GPE स्थितिज ऊर्जा (potential energy) का एक रूप है — यह संचित ऊर्जा है जो जारी होने की प्रतीक्षा कर रही है। किसी चट्टान के शीर्ष पर रखे पत्थर में विशाल GPE होती है। इसी प्रकार, दबी हुई स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा (elastic PE) होती है। दोनों ही वस्तु की स्थिति या विन्यास के आधार पर ऊर्जा संचित करते हैं।
सतह के निकट का सूत्र: Ep = mgh
पृथ्वी (या किसी भी ग्रह) की सतह के निकट, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत g लगभग स्थिर होती है। GPE में परिवर्तन का सूत्र है:
m — द्रव्यमान (kg)
वस्तु का द्रव्यमान। भारी वस्तुएं समान ऊंचाई पर अधिक GPE संचित करती हैं।
g — गुरुत्वाकर्षण (m/s²)
गुरुत्वीय त्वरण। पृथ्वी: 9.81, चंद्रमा: 1.62, मंगल: 3.71 m/s²।
h — ऊंचाई (m)
संदर्भ स्तर से ऊपर की ऊंचाई। संदर्भ स्तर का चुनाव मनमाना है — केवल GPE में अंतर ही भौतिक रूप से महत्वपूर्ण है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: m = Ep/(g·h), h = Ep/(m·g), g = Ep/(m·h)। आप पतन (impact) वेग भी ज्ञात कर सकते हैं: v = √(2·g·h)।
सामान्य सूत्र: U = −GMm/r
जब दो द्रव्यमानों के बीच की दूरी बहुत अधिक हो — या जब खगोलीय सटीकता की आवश्यकता हो — तो दो-पिंड प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा की गणना करने के लिए न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम का उपयोग करें:
| प्रतीक | अर्थ | मान / इकाई |
|---|---|---|
| G | सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक | 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² |
| M | बड़े पिंड का द्रव्यमान (जैसे ग्रह/तारा) | kg |
| m | छोटे पिंड का द्रव्यमान | kg |
| r | केंद्र-से-केंद्र की दूरी | m |
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षक (attractive) है। जैसे-जैसे दूरी r बढ़ती है, U का मान बढ़ता है (यह कम ऋणात्मक होता है) — जब द्रव्यमान दूर होते हैं तो प्रणाली में अधिक ऊर्जा होती है। अनंत दूरी (r = ∞) पर U = 0 हो जाता है।
ऊर्जा संरक्षण और GPE
घर्षण और वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, कुल यांत्रिक ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है:
जब कोई वस्तु ऊंचाई h₁ से गिरकर h₂ = 0 पर आती है, तो पूरी GPE गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए अंतिम गति (प्रभाव वेग) निम्नलिखित है:
इसका मतलब है कि 10 मीटर की ऊंचाई से गिरने वाला 70 किलोग्राम का व्यक्ति लगभग 14 m/s (50 किमी/घंटा) की गति से जमीन से टकराता है — चाहे उसका द्रव्यमान कुछ भी हो। GPE जलविद्युत संयंत्रों, पेंडुलम, रोलर कोस्टर और स्प्रिंग-संचालित तंत्रों का भी आधार है।
पलायन वेग
पलायन वेग वह न्यूनतम गति है जिस पर किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा गुरुत्वीय बल से पूरी तरह बाहर निकलने के लिए उसके GPE के परिमाण के बिल्कुल बराबर हो जाती है:
| पिंड | द्रव्यमान (kg) | त्रिज्या (km) | v_esc (km/s) |
|---|---|---|---|
| पृथ्वी | 5.972 × 10²⁴ | 6,371 | 11.19 |
| चंद्रमा | 7.342 × 10²² | 1,737 | 2.38 |
| मंगल | 6.417 × 10²³ | 3,390 | 5.03 |
| बृहस्पति | 1.898 × 10²⁷ | 69,911 | 59.5 |
| सूर्य | 1.989 × 10³⁰ | 695,700 | 617.5 |
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — सीढ़ियाँ चढ़ता व्यक्ति (70 kg, 10 m, पृथ्वी)
उदाहरण 2 — 1.5 m से गिरता सेब (0.1 kg)
उदाहरण 3 — LEO में उपग्रह (1000 kg, पृथ्वी केंद्र से r = 6,771 km)
उदाहरण 4 — यदि 100 m/s वेग से प्रक्षेपित किया जाए तो प्राप्त ऊंचाई
ग्रह और पिंड संदर्भ तालिका
| पिंड | g (m/s²) | द्रव्यमान (kg) | त्रिज्या (km) |
|---|---|---|---|
| पृथ्वी | 9.81 | 5.972 × 10²⁴ | 6,371 |
| चंद्रमा | 1.62 | 7.342 × 10²² | 1,737 |
| मंगल | 3.71 | 6.417 × 10²³ | 3,390 |
| बृहस्पति | 24.79 | 1.898 × 10²⁷ | 69,911 |
| सूर्य | 274 | 1.989 × 10³⁰ | 695,700 |
| शुक्र | 8.87 | 4.867 × 10²⁴ | 6,052 |