सरल लोलक आवर्तकाल कैलकुलेटर (Simple Pendulum)

T = 2π√(L/g) का उपयोग करके आवर्तकाल T, लंबाई L, आवृत्ति f, या गुरुत्वाकर्षण g की गणना करें।

त्वरित प्रीसेट (Presets)

इसके लिए हल करें

लंबाई L

आवर्तकाल T

s (सेकंड)

आवृत्ति f

Hz (हर्ट्ज़)

गुरुत्वाकर्षण g

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सरल लोलक का विवरण (Simple Pendulum Explained)

सरल लोलक (Simple Pendulum) में एक द्रव्यमान रहित, न बढ़ने वाली डोरी (लंबाई L) होती है जो एक निश्चित धुरी से जुड़ी होती है, जिसके दूसरे छोर पर एक बिंदु द्रव्यमान (बॉब) लटका होता है। जब इसे इसकी विराम स्थिति से विस्थापित करके छोड़ा जाता है, तो यह सरल आवर्त गति (simple harmonic motion) के साथ दोलन करता है — बशर्ते विस्थापन कोण छोटा हो।

इसका सबसे उल्लेखनीय गुण: **आवर्तकाल द्रव्यमान और आयाम दोनों से स्वतंत्र होता है** (छोटे कोणों के लिए)। इसे सबसे पहले गैलीलियो (~1602) ने पीसा कैथेड्रल में एक झूमर को झूलते हुए देखकर नोट किया था।

T = 2π√(L/g)

छोटा-कोण सूत्र

f = 1/T

हर्ट्ज़ (Hz) में आवृत्ति

ω = √(g/L)

कोणीय आवृत्ति

T = 2π√(L/g) का व्युत्पन्न (Derivation)

छोटे कोणों के लिए, प्रत्यनयन बल (restoring force) लगभग F ≈ −mg·θ होता है (जहाँ θ रेडियन में है)। घूर्णी गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने और लघु-कोण सन्निकटन sin(θ) ≈ θ का उपयोग करने पर प्राप्त होता है:

d²θ/dt² = −(g/L)·θ

यह d²θ/dt² = −(g/L)·θ के साथ सरल आवर्त गति (SHM) है, जहाँ ω² = g/L → ω = √(g/L) है।

T = 2π/ω = 2π√(L/g)

व्युत्पत्ति से पता चलता है कि अंतिम सूत्र में न तो द्रव्यमान m और न ही आयाम θ प्रकट होता है — केवल डोरी की लंबाई L और गुरुत्वीय त्वरण g ही मायने रखते हैं।

लघु-कोण बनाम दीर्घ-कोण लोलक (Small vs Large Angle)

~15° से ऊपर के कोणों के लिए, सरल सूत्र वास्तविक आवर्तकाल से कम मान दिखाता है। प्रथम-क्रम सुधार (लिंडस्टेड श्रृंखला) है:

T_corr = T₀ · (1 + θ²_rad/16 + 11·θ⁴_rad/3072 + ...)

आयाम कोण θ	सरल सूत्र की तुलना में आवर्तकाल त्रुटि
5°	+0.05%
15°	+0.43%
30°	+1.73%
45°	+3.99%
90°	+18.0%

भौतिक लोलक (Physical Pendulum)

एक भौतिक (संयुक्त) लोलक कोई भी दृढ़ पिंड (rigid body) होता है जो एक धुरी के चारों ओर घूमता है। सरल लोलक के विपरीत, इसका आवर्तकाल द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करता है:

T = 2π · √(I / (m·g·d))

जहाँ I धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण है, m कुल द्रव्यमान है, और d धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है। उदाहरण के लिए: एक सिरे से झूलती हुई एक समान छड़ (uniform rod) का आवर्तकाल T = 2π√(2L/3g) होता है।

लंबाई बनाम आवर्तकाल संदर्भ तालिका

लंबाई L	आवर्तकाल T (पृथ्वी)	आवृत्ति f	आवर्तकाल T (चंद्रमा)
0.1 m	0.635 s	1.575 Hz	1.562 s
0.25 m	1.003 s	0.997 Hz	2.470 s
0.5 m	1.418 s	0.705 Hz	3.492 s
1.0 m	2.006 s	0.499 Hz	4.939 s
2.5 m	3.170 s	0.315 Hz	7.804 s
5.0 m	4.483 s	0.223 Hz	11.035 s
10.0 m	6.342 s	0.158 Hz	15.607 s

हल किए गए उदाहरण (Worked Examples)

उदाहरण 1 — दादाजी की घड़ी (L=1m)

दिया है: L = 1m, g = 9.81

T = 2π√(1/9.81) = 2.006 s

f = 1/2.006 = 0.499 Hz

उदाहरण 2 — 1 सेकंड टिक (T=2s) के लिए L ज्ञात करना

दिया है: T = 2s, g = 9.81

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.3183)²

L = 0.993 m

उदाहरण 3 — चंद्रमा पर 1 मीटर का लोलक

दिया है: L = 1m, g = 1.62

T = 2π√(1/1.62) = 4.939 s

f = 0.202 Hz

उदाहरण 4 — फूको लोलक (Foucault - L=67m)

दिया है: L = 67m, g = 9.81

T = 2π√(67/9.81) = 16.42 s

f = 0.0609 Hz

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

एक सरल लोलक एक आदर्श मॉडल है जिसमें द्रव्यमान रहित डोरी (लंबाई L) के सिरे पर एक बिंदु द्रव्यमान (बॉब) लटका होता है, जो बिना किसी घर्षण के गुरुत्वाकर्षण के तहत झूलता है। छोटे कोणों (लगभग 15° से कम) के लिए, इसका आवर्तकाल T = 2π√(L/g) होता है, जो द्रव्यमान और आयाम से स्वतंत्र होता है।

नहीं। आवर्तकाल T = 2π√(L/g) सूत्र में द्रव्यमान का कोई पद नहीं है। एक ही लंबाई की डोरी पर लटका भारी बॉब और हल्का बॉब बिल्कुल समान आवर्तकाल के साथ झूलते हैं। यह 1602 के आसपास गैलीलियो की प्रमुख खोजों में से एक थी।

सरल सूत्र T = 2π√(L/g) मानते हैं कि रेडियन में sin(θ) ≈ θ होता है, जो लगभग 15° से कम के कोणों के लिए सही बैठता है। इससे ऊपर, वास्तविक आवर्तकाल लंबा हो जाता है। 30° पर त्रुटि ~1.7% और 90° पर ~18% होती है। बड़े कोणों पर सटीक परिणामों के लिए उन्नत (Advanced) मोड में बड़े-आयाम सुधार का उपयोग करें।

एक "सेकंड लोलक" का अर्ध-आवर्तकाल 1 सेकंड (पूर्ण आवर्तकाल T = 2s) होता है। सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: L = g(T/2π)² = 9.81×(2/2π)² ≈ 0.9929 मीटर ≈ 99.3 सेमी। यही कारण है कि दादाजी वाली घड़ियां (grandfather clocks) लंबी होती हैं — उनका लोलक लगभग 1 मीटर लंबा होता है।

आवर्तकाल T एक पूर्ण दोलन (एक बार आगे और पीछे पूरा झूलना) में लगने वाला समय है, जिसे सेकंड में मापा जाता है। आवृत्ति f प्रति सेकंड पूर्ण दोलनों की संख्या है, जिसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है। वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं: f = 1/T। T = 2s वाले लोलक की आवृत्ति f = 0.5 Hz होगी।

आवर्तकाल g के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: T ∝ 1/√g। चंद्रमा पर (g = 1.62 m/s²), 1 मीटर लंबे लोलक का आवर्तकाल T ≈ 4.94 s होता है — जो पृथ्वी (T ≈ 2.01 s) की तुलना में लगभग 2.46 गुना अधिक लंबा है। बृहस्पति पर (g = 24.79), उसी लोलक का आवर्तकाल T ≈ 1.26 s होता है।

एक भौतिक (संयुक्त) लोलक किसी धुरी के परितः झूलने वाला एक दृढ़ पिंड (rigid body) होता है, न कि डोरी पर लटका कोई बिंदु द्रव्यमान। इसका आवर्तकाल T = 2π√(I/(mgd)) होता है, जहाँ I धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण है, m द्रव्यमान है, g गुरुत्वाकर्षण है, और d धुरी से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।