ग्रुप थ्योरी ऑर्डर कैलकुलेटर
तत्व का ऑर्डर · उपसमूह का ऑर्डर · लैग्रेंज प्रमेय
Zn (चक्रीय, योग), Sn (क्रमपरिवर्तन), और Zn* (गुणात्मक) समूहों में तत्वों के ऑर्डर (order of elements) की गणना करें। उपसमूह (subgroups) उत्पन्न करें और लैग्रेंज प्रमेय को सत्यापित करें।
ग्रुप का प्रकार (Group Type)
त्वरित उदाहरण (Quick Examples)
योग mod n के तहत समूह Zₙ = {0, 1, 2, ..., n-1}। तत्व a ∈ {0, ..., n-1}। तत्समक तत्व (Identity) = 0।
तत्वों के बीच रिक्त स्थान का उपयोग करके असंयुक्त चक्र (disjoint cycles) दर्ज करें, जैसे: (1 2 3)(4 5)। निश्चित बिंदु स्वचालित रूप से अनुमानित किए जाते हैं। एकल चक्र जैसे (1 2 3 4) भी मान्य हैं।
समूह Zₙ* = इकाइयां mod n (तत्व जो n के सह-अभाज्य हैं)। आवश्यक है कि gcd(a, n) = 1। तत्समक तत्व (Identity) = 1।
गणना विवरण (Computation Details)
उत्पन्न उपसमूह ⟨a⟩ (Generated Subgroup)
घात / गुणज तालिका (Powers / Multiples Table)
समूह सिद्धांत (Group Theory) क्या है?
समूह सिद्धांत अमूर्त बीजगणित (abstract algebra) की एक शाखा है जो समूह (group) नामक बीजगणितीय संरचना का अध्ययन करती है। एक समूह एक ऐसा समुच्चय है जो एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) से सुसज्जित होता है और चार सिद्धांतों को संतुष्ट करता है: संवरक गुण, साहचर्य नियम, तत्समक तत्व का अस्तित्व और प्रतिलोम तत्व का अस्तित्व।
तत्व का ऑर्डर (Order of an Element)
यदि G एक समूह है जिसका तत्समक तत्व e है, तो एक तत्व a का ऑर्डर (ord(a) या |a|) वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक k होता है जिसके लिए ak = e। यदि ऐसा कोई k मौजूद नहीं है, तो a का ऑर्डर अनंत (infinite) होता है।
लैग्रेंज प्रमेय (Lagrange's Theorem)
लैग्रेंज प्रमेय समूह सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है। यह बताता है कि: यदि G एक परिमित समूह (finite group) है और H उसका एक उपसमूह (subgroup) है, तो H का आकार |H| हमेशा G के आकार |G| को पूर्णतः विभाजित करेगा।