लघुगणकीय समीकरण हल करें
log_b(x)=c · Log का योग · रैखिक Log · प्राकृतिक ln · समान-आधार समता
वे समीकरण हल करें जिनमें चर logarithm के अंदर हो। पूर्ण चरण-दर-चरण हल, डोमेन जाँच और अतिरिक्त हल की पहचान।
त्वरित उदाहरण
समीकरण का प्रकार
समीकरण रूप: log_b(x) = c → x = bc
समीकरण रूप: a·log_b(x) + c = d
नोट: d को दशमलव में दर्ज करें। Quick Example बटन का उपयोग करें।
समीकरण रूप: log_b(ax+p) + log_b(cx+q) = log_b(k) या = N
पहला log argument: (a·x + p)
दूसरा log argument: (c·x + q)
दाईं ओर: log_b(k) = N यानी k = bN
समीकरण रूप: ln(a·x + b) = c → x = (ec − b) / a
समीकरण रूप: log_b(Ax² + Bx + C) = N → Ax² + Bx + C = bN, द्विघात हल करें
डोमेन और अतिरिक्त हल जाँच
चरण-दर-चरण समाधान
सत्यापन
Log नियम संदर्भ कार्ड
लघुगणकीय समीकरण क्या होते हैं?
लघुगणकीय समीकरण वे समीकरण हैं जिनमें अज्ञात चर एक logarithm के argument के रूप में होता है। उदाहरण के लिए log(x) = 3 से लेकर log₂(x+3) + log₂(x−1) = 5 जैसे जटिल रूप तक। इन्हें हल करने के लिए log नियमों का क्रमबद्ध उपयोग किया जाता है, फिर घातांक के व्युत्क्रम से x निकाला जाता है।
लघुगणकीय समीकरण विज्ञान और इंजीनियरिंग की कई शाखाओं में उपयोग होते हैं — रसायन विज्ञान (pH गणना), भूकंप विज्ञान (रिक्टर पैमाना), ध्वनिकी (डेसिबल) और वित्त (चक्रवृद्धि ब्याज) में।
लघुगणकीय समीकरणों के प्रकार
| प्रकार | रूप | विधि |
|---|---|---|
| मूल | log_b(x) = c | घातांक: x = b^c |
| Log में रैखिक | a·log_b(x) + c = d | Log अलग करो, फिर घातांक |
| Log का योग | log(f(x)) + log(g(x)) = N | गुणनफल नियम, फिर बहुपद हल |
| प्राकृतिक log | ln(ax+b) = c | e से घातांक: ax+b = e^c |
| समान-आधार समता | log_b(द्विघात) = N | द्विघात = b^N, हल करो, डोमेन जाँचो |
पाँच मुख्य लघुगणक नियम
log समीकरण हल करने के लिए इन नियमों में महारत जरूरी है:
- गुणनफल नियम: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)। Log के योग को एक log में बदलने के लिए उपयोग करें।
- भागफल नियम: log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y)। Log के अंतर को मिलाने के लिए।
- घात नियम: log_b(x^n) = n·log_b(x)। गुणांक को घातांक में बदलने के लिए।
- आधार परिवर्तन: log_b(x) = ln(x)/ln(b)। संख्यात्मक गणना के लिए।
- व्युत्क्रम गुण: b^(log_b(x)) = x। Log हटाने का मुख्य उपकरण।
डोमेन प्रतिबंध और अतिरिक्त हल
लघुगणकीय समीकरण हल करने का सबसे महत्वपूर्ण पहलू डोमेन प्रतिबंध है: log_b(u) केवल तभी परिभाषित है जब u > 0। जब log के योग वाले समीकरण से द्विघात बनता है, तो दोनों मूलों की अलग-अलग जाँच करनी होती है। यदि कोई मूल किसी argument को शून्य या ऋणात्मक बनाता है, तो वह अतिरिक्त हल है और अस्वीकार किया जाता है।
उदाहरण: log(x) + log(x−3) = 1 से x = 5 और x = −2 मिलते हैं। x = −2 पर log(−2) अपरिभाषित है, इसलिए x = −2 अस्वीकार। केवल x = 5 वैध है।
प्राकृतिक लघुगणक बनाम सामान्य लघुगणक
प्राकृतिक लघुगणक (ln) का आधार e ≈ 2.71828 है। यह कलन (calculus), अवकल समीकरणों और वृद्धि/क्षय मॉडलों में स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है। सामान्य लघुगणक (log₁₀) का आधार 10 है और pH, रिक्टर पैमाना और डेसिबल गणना में उपयोग होता है। दोनों एक समान नियमों का पालन करते हैं।
वास्तविक जीवन में उपयोग
- pH गणना: pH = −log[H⁺]। pH ज्ञात होने पर हाइड्रोजन आयन सांद्रता: [H⁺] = 10^(−pH)।
- रिक्टर पैमाना: भूकंप तीव्रता M = log(I/I₀)। I/I₀ = 10^M।
- डेसिबल: ध्वनि स्तर L = 10·log(P/P₀)।
- वित्त: चक्रवृद्धि ब्याज A = P(1+r)^t। t = log(A/P) / log(1+r)।
- रेडियोसक्रिय क्षय: N(t) = N₀·e^(−λt)। t = ln(N/N₀) / (−λ)।
हल किया उदाहरण: log₂(x+3) + log₂(x−1) = 5
चरण 1 — गुणनफल नियम लगाएँ: log₂((x+3)(x−1)) = 5
चरण 2 — दोनों पक्षों पर घातांक (आधार 2): (x+3)(x−1) = 2⁵ = 32
चरण 3 — विस्तार करें: x² + 2x − 3 = 32 → x² + 2x − 35 = 0
चरण 4 — गुणनखंड/द्विघात सूत्र: (x+7)(x−5) = 0 → x = −7 या x = 5
चरण 5 — डोमेन जाँच: x = −7: log₂(−4) — अपरिभाषित। x = 5: log₂(8) और log₂(4) — दोनों वैध।
उत्तर: x = 5 (x = −7 अतिरिक्त है)