दो-समीकरण वाले अरेखीय निकायों को चरण-दर-चरण हल करें — प्रतिस्थापन, विलोपन, और न्यूटन-राफसन विधियाँ।
वृत्त: x² + y² = r²
रेखा: y = mx + b
परवलय: y = ax² + bx + c
रेखा: y = mx + k
वृत्त 1: (x−h₁)² + (y−k₁)² = r₁²
वृत्त 2: (x−h₂)² + (y−k₂)² = r₂²
परवलय: y = ax²
वृत्त: x² + y² = r²
दो समीकरणों को जावास्क्रिप्ट व्यंजक (expressions) के रूप में दर्ज करें। चरों के रूप में x और y का उपयोग करें। उदाहरण: x*x + y*y - 25
अरेखीय समीकरणों का निकाय क्या होता है?
एक अरेखीय समीकरणों का निकाय (system of nonlinear equations) दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह होता है जिसमें कम से कम एक अरेखीय पद होता है — जैसे x², y², xy, |x|, sin(x), या एक घातांक। रैखिक निकायों के विपरीत (जहाँ सभी समीकरण सीधी रेखाओं का वर्णन करते हैं), अरेखीय निकायों में वक्र शामिल होते हैं: वृत्त, परवलय (parabola), अतिपरवलय (hyperbola), दीर्घवृत्त (ellipse), और अधिक जटिल आकृतियाँ। समाधान वे बिंदु होते हैं जहाँ ये वक्र कार्तीय निर्देशांक समतल (coordinate plane) में एक-दूसरे को काटते हैं।
अरेखीय निकाय भौतिकी (प्रक्षेप्य गणना, कक्षीय यांत्रिकी), इंजीनियरिंग (तनाव विश्लेषण, सर्किट डिज़ाइन), अर्थशास्त्र (घटते प्रतिफल के साथ आपूर्ति-मांग संतुलन), और कंप्यूटर ग्राफिक्स (3D रेंडरिंग के लिए किरण-गोला प्रतिच्छेदन) में दिखाई देते हैं। इन्हें हल करने का तरीका समझना व्यावहारिक गणित के लिए मौलिक है।
रैखिक निकायों से मुख्य अंतर संभावित समाधानों की संख्या है: एक रैखिक निकाय में 0, 1, या ∞ समाधान होते हैं, जबकि एक अरेखीय निकाय में समाधानों की कोई भी सीमित संख्या (या कोई नहीं) हो सकती है। एक रेखा एक वृत्त को 0, 1, या 2 बिंदुओं पर काट सकती है; दो वृत्त 0, 1, या 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं; एक रेखा एक परवलय को स्पर्श कर सकती है या पूरी तरह से चूक सकती है।
अरेखीय समीकरणों के निकाय को हल करने की विधियाँ
विधि
इसके लिए सर्वोत्तम
परिणाम
प्रतिस्थापन (Substitution)
जब एक समीकरण रैखिक या आसानी से व्यवस्थित हो
सटीक बीजगणितीय समाधान
विलोपन (Elimination)
दो शंकु (conics) एक समान पद साझा कर रहे हों (जैसे दो वृत्त)
निकाय को सरल बनाता है
न्यूटन-राफसन
कोई भी अवकलनीय निकाय, जिसका बंद रूप (closed form) न हो
पुनः प्रतिस्थापित करें: (3, 4) और (4, 3) — दोनों वृत्त और रेखा पर स्थित हैं ✓
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अरेखीय समीकरणों का निकाय दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह होता है जहाँ कम से कम एक समीकरण रैखिक नहीं होता है — अर्थात इसमें x², y², xy, sin(x), या घातांक जैसे पद होते हैं। रैखिक निकायों के विपरीत, अरेखीय निकायों में वक्रों की ज्यामिति के आधार पर 0, 1, 2, या अधिक समाधान बिंदु हो सकते हैं।
मुख्य विधियाँ प्रतिस्थापन (एक चर को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करना और दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना), विलोपन (एक अरेखीय पद को रद्द करने के लिए समीकरणों को घटाना), और उन समीकरणों के लिए न्यूटन-राफसन संख्यात्मक पुनरावृत्ति हैं जिन्हें बंद रूप में हल नहीं किया जा सकता है। प्रतिस्थापन तब अच्छा काम करता है जब एक समीकरण रैखिक हो।
एक अरेखीय निकाय के शून्य (वक्र प्रतिच्छेद नहीं करते), एक (स्पर्श बिंदु), दो (जैसे, रेखा एक वृत्त को काटती है), या अधिक समाधान हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग वृत्त ठीक 0, 1, या 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। एक रेखा एक परवलय को 0, 1, या 2 बिंदुओं पर काट सकती है।
प्रतिस्थापन में, एक समीकरण को एक चर के लिए हल करें (जैसे, y = 7 − x) और दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। यह निकाय को एक एकल-चर समीकरण (अक्सर एक द्विघात) में कम कर देता है जिसे फिर द्विघात सूत्र के साथ या गुणनखंड द्वारा हल किया जा सकता है। प्रत्येक x मान एक संबंधित y मान देता है।
न्यूटन-राफसन एक पुनरावृत्ति संख्यात्मक विधि है। एक प्रारंभिक अनुमान (x₀, y₀) से शुरू करके, सुधार चरणों (Δx, Δy) की गणना करने के लिए आंशिक अवकलज के जैकोबियन मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है, और अनुमान को तब तक अद्यतन किया जाता है जब तक कि त्रुटि सीमा से नीचे न आ जाए। यह मूल के पास तेजी से अभिसरण करता है लेकिन इसके लिए एक अच्छे प्रारंभिक अनुमान की आवश्यकता होती है।
रैखिक निकायों में केवल सीधी रेखाएं शामिल होती हैं; उनके पास बिल्कुल 0, 1, या असीमित रूप से कई समाधान होते हैं और उन्हें हमेशा गॉसियन विलोपन के साथ हल किया जा सकता है। अरेखीय निकायों में वक्र शामिल होते हैं और इनमें प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कोई भी संख्या हो सकती है। उन्हें अक्सर विशिष्ट बीजगणितीय तकनीकों या संख्यात्मक तरीकों की आवश्यकता होती है।
दो वृत्त तब प्रतिच्छेद नहीं करते हैं जब उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग से अधिक हो (वे बहुत दूर हैं) या पूर्ण अंतर से कम हो (एक पूरी तरह से दूसरे के अंदर है)। वे बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं जब दूरी = r₁ + r₂, और आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं जब दूरी = |r₁ − r₂|।
Yes. जब परिणामी बहुपद का विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक होता है, तो समाधानों में सम्मिश्र संख्याएँ शामिल होती हैं। ज्यामितीय रूप से इसका अर्थ है कि वक्र वास्तविक समतल में प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। यह कैलकुलेटर वास्तविक समाधानों पर केंद्रित है और विविक्तकर ऋणात्मक होने पर "कोई वास्तविक प्रतिच्छेदन नहीं" रिपोर्ट करेगा।