सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर
अंकगणित, ध्रुवीय रूप, मापांक, कोणांक, घात और अधिक — चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण के साथ
अंकगणितीय संक्रियाएं (Arithmetic Operations)
दो सम्मिश्र संख्याएं दर्ज करें और एक संक्रिया चुनें।
संक्रिया (Operation)
त्वरित उदाहरण (Quick Examples)
चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण
सम्मिश्र संख्या (Complex Number) क्या है?
एक सम्मिश्र संख्या z = a + bi के रूप की एक संख्या है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i काल्पनिक इकाई है जिसे i² = −1 द्वारा परिभाषित किया गया है। मान a को वास्तविक भाग (Re(z)) कहा जाता है और b को काल्पनिक भाग (Im(z)) कहा जाता है। प्रत्येक वास्तविक संख्या b = 0 के साथ एक सम्मिश्र संख्या होती है, और प्रत्येक शुद्ध काल्पनिक संख्या में a = 0 होता है।
ज्यामितीय रूप से, एक सम्मिश्र संख्या सम्मिश्र समतल (Argand plane) में एक बिंदु (a, b) से मेल खाती है, जहाँ क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है और ऊर्ध्वाधर अक्ष काल्पनिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है।
सम्मिश्र संख्या संक्रियाएं
जोड़ और घटाव
(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
वास्तविक भागों को एक साथ जोड़ें या घटाएं और काल्पनिक भागों को अलग से जोड़ें या घटाएं।
गुणा (FOIL विधि)
= (ac − bd) + (ad + bc)i [चूंकि i² = −1]
वितरण गुण (distributive property) का उपयोग करके गुणा करें, फिर सरल करने के लिए i² = −1 रखें।
भाग (संयुग्मी विधि)
हर (denominator) को वास्तविक बनाने के लिए अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप (Polar Form)
किसी भी सम्मिश्र संख्या z = a + bi को ध्रुवीय रूप में z = r∠θ = r(cos θ + i sin θ) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ:
- r = |z| = √(a²+b²) मापांक (मूल बिंदु से दूरी) है।
- θ = arg(z) = atan2(b, a) कोणांक (धनात्मक वास्तविक अक्ष से बना कोण) है।
यूलर का सूत्र (Euler's Formula)
यूलर का सूत्र बताता है: e^(iθ) = cos θ + i sin θ। इसका अर्थ है कि किसी भी सम्मिश्र संख्या को z = re^(iθ) के रूप में लिखा जा सकता है। सबसे प्रसिद्ध विशेष मामला यूलर की पहचान है: e^(iπ) + 1 = 0, जो पांच बुनियादी स्थिरांकों e, i, π, 1 और 0 को जोड़ता है।
सामान्य सम्मिश्र संख्या मान
| व्यंजक (Expression) | आयताकार रूप | मापांक | कोणांक | ध्रुवीय रूप |
|---|---|---|---|---|
| i | 0 + 1i | 1 | 90° | 1∠90° |
| −i | 0 − 1i | 1 | −90° | 1∠−90° |
| −1 | −1 + 0i | 1 | 180° | 1∠180° |
| 1+i | 1 + 1i | √2 ≈ 1.4142 | 45° | √2∠45° |
| 3+4i | 3 + 4i | 5 | ≈53.13° | 5∠53.13° |
| e^(iπ) | −1 + 0i | 1 | 180° | 1∠180° |
सम्मिश्र संख्याओं के अनुप्रयोग
- AC सर्किट विश्लेषण: इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में प्रतिबाधा (impedance) को सम्मिश्र संख्या Z = R + jX के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ R प्रतिरोध है और X प्रतिघात (reactance) है।
- फूरियर रूपांतरण: फूरियर रूपांतरण सिग्नल को आवृत्ति घटकों में विघटित करने के लिए सम्मिश्र घातांकों का उपयोग करता है।
- क्वांटम यांत्रिकी: क्वांटम यांत्रिकी में वेवफंक्शन सम्मिश्र-मूल्यवान (complex-valued) होते हैं।