मॉड्यूलो कैलकुलेटर

विभाजन के शेषफल, मॉड्यूलर अंकगणित संक्रियाओं, सर्वांगसमता और घड़ी गणित की गणना करें।

मॉड्यूलो क्या है?

मॉड्यूलो संक्रिया (modulo operation) (जिसे a mod m या a % m के रूप में लिखा जाता है) वह शेषफल (remainder) लौटाती है जो पूर्णांक a को पूर्णांक m (भाजक या मॉड्युलस) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। यह विभाजन एल्गोरिथ्म (division algorithm) पर आधारित है: किसी भी पूर्णांक a और m (m > 0) के लिए, विशिष्ट पूर्णांक q (भागफल) और r (शेषफल) मौजूद होते हैं ताकि a = q × m + r जहाँ 0 ≤ r < m हो।

मॉड्यूलर अंकगणित को इसकी चक्रीय प्रकृति के कारण कभी-कभी घड़ी का गणित (clock arithmetic) भी कहा जाता है — ठीक वैसे ही जैसे एक घड़ी में 12 के बाद सुई वापस 1 पर आ जाती है। यह आधुनिक क्रिप्टोग्राफी (RSA, Diffie-Hellman), हैश फ़ंक्शंस, चेकसम, चक्रीय डेटा संरचनाओं और कैलेंडर गणनाओं (किसी दी गई तारीख को सप्ताह का कौन सा दिन है?) का आधार है।

फ्लोर (Floor) बनाम ट्रंकेटेड (Truncated) मॉड्यूलो: धनात्मक संख्याओं के लिए दोनों एक ही परिणाम देते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के लिए वे भिन्न होते हैं। पायथन फ्लोर विभाजन का उपयोग करता है: −7 mod 3 = 2 (हमेशा गैर-ऋणात्मक)। C, Java, और JavaScript ट्रंकेटेड विभाजन का उपयोग करते हैं: −7 % 3 = −1 (चिह्न भाज्य से मेल खाता है)। गणितीय रूप से फ्लोर संस्करण संख्या सिद्धांत के साथ अधिक सुसंगत है।

मॉड्यूलो बनाम शेषफल — ऋणात्मक संख्याओं की तुलना

व्यंजक (Expression)फ्लोर (Python)ट्रंकेटेड (C/JS)
17 mod 522
-7 mod 32-1
7 mod -3-21
-7 mod -3-1-1

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मॉड्यूलो एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने के बाद प्राप्त होने वाला शेषफल है। 17 mod 5 के लिए: 17 = 3×5 + 2, इसलिए परिणाम 2 है। यह मॉड्यूलर अंकगणित की नींव है और प्रोग्रामिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
धनात्मक संख्याओं के लिए, वे बिल्कुल समान होते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के लिए, फ्लोर मॉड्यूलो (पायथन) हमेशा गैर-ऋणात्मक परिणाम देता है, जबकि ट्रंकेटेड शेषफल (C, Java, JavaScript %) ऋणात्मक परिणाम दे सकता है। जब a या m ऋणात्मक हो तो दोनों की चिन्ह व्यवस्था भिन्न होती है।
मॉड्यूलर अंकगणित एक संख्या प्रणाली है जहाँ संख्याएँ एक निश्चित मान (भाजक या मॉड्युलस) पर पहुँचने पर वापस चक्रित हो जाती हैं। एक घड़ी के बारे में सोचें: 12 के बाद, हम वापस 1 पर जाते हैं। दो संख्याएँ "m के सापेक्ष सर्वांगसम" होती हैं यदि वे m से विभाजित करने पर समान शेषफल देती हैं।
a mod m का मॉड्यूलर व्युत्क्रम वह संख्या x है जिसके लिए (a × x) ≡ 1 (mod m) होता है। यह केवल तभी मौजूद होता है जब gcd(a, m) = 1 हो। इसे विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके निकाला जाता है और यह RSA डिक्रिप्शन में आवश्यक है।
RSA एन्क्रिप्शन मॉड्यूलर घातांक पर निर्भर करता है: ciphertext = messageᵉ mod n। सुरक्षा बड़े n के अभाज्य गुणनखंडन और डिस्क्रीट लॉगरिदम की कठिन गणनाओं से आती है। डिफी-हेलमैन की एक्सचेंज और एलिप्टिक कर्व क्रिप्टोग्राफी भी इस पर निर्भर हैं।
घड़ी अंकगणित mod 12 (या mod 24) का उपयोग है। यदि अभी 10 बजे हैं और आप 5 घंटे जोड़ते हैं: (10 + 5) mod 12 = 3। यही सिद्धांत कंप्यूटिंग में साइक्लिक बफ़र्स, हैश टेबल और शेड्यूलिंग एल्गोरिदम के लिए लागू होता है।
यह नोटेशन दर्शाता है कि a और b, m के सापेक्ष सर्वांगसम हैं: वे m से विभाजित होने पर समान शेषफल देते हैं, या समान रूप से, m संख्या (a − b) को पूर्ण विभाजित करता है। उदाहरण: 17 ≡ 5 (mod 6) क्योंकि दोनों को 6 से विभाजित करने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है (17 − 5 = 12 = 6×2)।
किसी भी गैर-शून्य m के लिए 0 mod m = 0 होता है, क्योंकि 0 = 0 × m + 0। शेषफल हमेशा 0 होता है। शून्य से विभाजन (a mod 0) अपरिभाषित है।

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