संख्या की अभाज्य स्थिति जांचें, अभाज्य गुणनखंड खोजें, पहाड़ा सूची बनाएं और Nवां अभाज्य ज्ञात करें।
प्रथम 50 अभाज्य संख्याएँ
अभाज्य संख्या (Prime Number) क्या है?
एक अभाज्य संख्या (prime number) 1 से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या होती है जिसके ठीक दो भिन्न धनात्मक गुणनखंड (divisors) होते हैं: 1 और वह स्वयं। उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... वह संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं, उसे भाज्य संख्या (composite number) कहा जाता है। 1 को परिभाषा के अनुसार न तो अभाज्य माना जाता है और न ही भाज्य।
यूक्लिड ने लगभग 300 ईसा पूर्व सिद्ध किया था कि अभाज्य संख्याएँ अनंत (infinitely many primes) होती हैं — यह गणित के सबसे सुंदर प्रमाणों में से एक है। अभाज्य संख्या प्रमेय (Prime Number Theorem) हमें बताता है कि N तक लगभग कितनी अभाज्य संख्याएँ मौजूद हैं: लगभग N/ln(N)। उदाहरण के लिए, 10^9 जैसी बड़ी संख्या के पास, हर 20 में से 1 संख्या अभाज्य होती है।
अभाज्य संख्याएँ पूर्णांकों की "परमाणु" (atoms) होती हैं: 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है (अंकगणित का मौलिक प्रमेय)। यही विशिष्टता अभाज्य संख्याओं को क्रिप्टोग्राफी में बहुत महत्वपूर्ण बनाती है — RSA एन्क्रिप्शन में दो विशाल अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को फैक्टर करने की जटिलता ही इसकी सुरक्षा का मुख्य आधार होती है।
अभाज्य संख्याओं के विशेष प्रकार
जुड़वां अभाज्य (Twin primes): p और p+2 दोनों अभाज्य हों जैसे (3,5), (11,13), (17,19)
मर्सैन अभाज्य (Mersenne primes): 2ⁿ−1 के रूप की संख्या (3, 7, 31, 127...)
सोफी जर्मेन (Sophie Germain): p अभाज्य है और 2p+1 भी अभाज्य है
कजिन अभाज्य (Cousin primes): p और p+4 दोनों अभाज्य हों जैसे (3,7), (7,11)
सेक्सी अभाज्य (Sexy primes): p और p+6 दोनों अभाज्य हों जैसे (5,11), (7,13)
सुरक्षित अभाज्य (Safe primes): p=(q-1)/2 जहाँ q एक सोफी जर्मेन अभाज्य है
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अभाज्य संख्या 1 से बड़ी वह संख्या है जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या। उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13। 1 से बड़े सभी पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।
नहीं, 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य। परिभाषा के अनुसार अभाज्य होने के लिए संख्या के ठीक दो विशिष्ट गुणनखंड होने चाहिए, जबकि 1 का केवल एक ही गुणनखंड (1) है। यदि 1 को अभाज्य माना जाता, तो अभाज्य गुणनखंडों के अद्वितीयता का नियम (uniqueness of factorization) टूट जाता।
हाँ, 2 ही एकमात्र सम संख्या है जो अभाज्य है। 2 से बड़ी सभी सम संख्याएँ कम से कम 2 से विभाज्य होती हैं, जिसके कारण उनके 2 से अधिक गुणनखंड हो जाते हैं और वे भाज्य संख्याएँ बन जाती हैं।
छोटी संख्याओं के लिए, 2 से √n तक की संख्याओं से विभाजित करके देखना पर्याप्त है। बड़ी संख्याओं के लिए, मिलर-रॉबिन संभाव्य परीक्षण बहुत तीव्र होता है। कुछ निश्चित गवाहों (witnesses) के प्रयोग से यह परीक्षण n < 3.2×10¹⁸ के लिए पूरी तरह से अकाट्य साबित होता है।
जुड़वां अभाज्य संख्याओं के ऐसे जोड़े होते हैं जिनमें 2 का अंतर होता है, जैसे: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19)। यह माना जाता है कि ऐसे जोड़े अनंत हैं (जुड़वां अभाज्य अनुमान), लेकिन यह अभी तक गणितीय रूप से सिद्ध नहीं हो पाया है।
RSA एन्क्रिप्शन में दो विशाल अभाज्य संख्याएँ p और q चुनी जाती हैं। उनका गुणनफल n = p×q सार्वजनिक कुंजी (public key) बनता है। सुरक्षा इस बात पर टिकी है कि बहुत बड़े n को वापस p और q में विभाजित करना आज के कंप्यूटरों के लिए लगभग असंभव है।
हाँ, यूक्लिड ने ~300 ईसा पूर्व इसे सिद्ध किया था। यदि हम मान लें कि अभाज्य संख्याएं सीमित हैं (p₁, p₂,...,pₙ), और N = p₁×p₂×...×pₙ+1 बनाते हैं, तो N या तो स्वयं अभाज्य होगा या किसी ऐसे अभाज्य संख्या से विभाजित होगा जो सूची में नहीं है। इससे विरोधाभास होता है।
2024 तक, सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या 2^82,589,933 − 1 है। यह एक मर्सैन अभाज्य संख्या है जिसमें 24,862,048 अंक हैं। इसे 2018 में GIMPS प्रोजेक्ट द्वारा खोजा गया था।