श्रमिकों, पाइप और टंकी, तथा व्यक्तिगत दर की समस्याओं को चरण-दर-चरण समाधानों के साथ हल करें।
प्रत्येक श्रमिक द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय (एक ही इकाई में) दर्ज करें। निकालने के लिए खाली छोड़ दें।
श्रमिक Aदिन/घंटे
श्रमिक Bदिन/घंटे
श्रमिक Cदिन/घंटे
श्रमिक Dदिन/घंटे
श्रमिक Eदिन/घंटे
प्रत्येक पाइप द्वारा अकेले टंकी को भरने या खाली करने में लगने वाला समय दर्ज करें।
पाइप 1घंटे में
पाइप 2घंटे में
पाइप 3घंटे में
पाइप 4घंटे में
दो श्रमिक (A और B) मिलकर एक कार्य को T घंटों में पूरा करते हैं। कार्यकर्ता A अकेले TA घंटे लेता है। ज्ञात कीजिए कि कार्यकर्ता B अकेले कितना समय लेता है।
कार्य दर समस्या क्या है?
एक कार्य दर समस्या (work rate problem) अंकगणित की समस्याओं की एक क्लासिक श्रेणी है जो पूछती है: यदि विभिन्न श्रमिक (या पाइप) अलग-अलग गति से कार्य पूरा कर सकते हैं, तो उन्हें मिलकर काम करने में कितना समय लगेगा? ये समस्याएं रोजमर्रा की जिंदगी में दिखाई देती हैं — समय सीमा तक घर को पेंट करने के लिए कितने पेंटर्स चाहिए, एक जलाशय को खाली करने के लिए कितने पंप चाहिए, या कई लोगों के साथ एक परियोजना को पूरा करने में कितना समय लगता है।
मुख्य अवधारणा यह है कि दरें योगात्मक (rates are additive) होती हैं। यदि श्रमिक A प्रति दिन कार्य का 1/6 भाग करता है और श्रमिक B प्रति दिन 1/4 भाग करता है, तो वे मिलकर प्रति दिन 1/6 + 1/4 = 5/12 भाग पूरा करेंगे। कुल आवश्यक समय केवल 12/5 = 2.4 दिन है।
कार्य दर का सूत्र
मूल सूत्र दरों (प्रति इकाई समय में कार्य का अंश) पर आधारित है:
श्रमिक की दर = 1 / (अकेले काम पूरा करने में लगने वाला समय)
संयुक्त दर = 1/T₁ + 1/T₂ + 1/T₃ + ...
एक साथ लगने वाला समय (T) = 1 / संयुक्त दर
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) विधि एक कुशल वैकल्पिक तरीका है: कुल कार्य इकाइयों के रूप में सभी व्यक्तिगत समयों का LCM लें। प्रति दिन प्रत्येक श्रमिक का आउटपुट = (LCM ÷ उनका व्यक्तिगत समय)। संयुक्त दैनिक आउटपुट के लिए सभी को जोड़ें, और उत्तर के लिए कुल कार्य को संयुक्त आउटपुट से विभाजित करें।
पाइप और टंकी की समस्याओं को हल करना
पाइप और टंकी की समस्याएं संरचनात्मक रूप से कार्य समस्याओं के समान हैं, लेकिन इनमें भरने और खाली करने वाले दोनों पाइप शामिल होते हैं। भरने वाले पाइप एक सकारात्मक दर (+ rate) प्रदान करते हैं; खाली करने वाले पाइप एक नकारात्मक दर (− rate) प्रदान करते हैं। कुल मिलाकर शुद्ध दर (net rate) यह तय करती है कि टंकी भरेगी या खाली होगी और कितनी जल्दी।
उदाहरण के लिए: पाइप A 3 घंटे में भरता है (+1/3 प्रति घंटा), पाइप B 6 घंटे में भरता है (+1/6 प्रति घंटा), पाइप C 4 घंटे में खाली करता है (−1/4 प्रति घंटा)। शुद्ध दर = 1/3 + 1/6 − 1/4 = 4/12 + 2/12 − 3/12 = 3/12 = 1/4 प्रति घंटा। अतः टंकी 4 घंटे में भर जाएगी।
चरण-दर-चरण हल किया गया उदाहरण
समस्या: A किसी काम को 6 दिनों में पूरा करता है; B इसे 4 दिनों में पूरा करता है। वे मिलकर इसे कितने समय में पूरा करेंगे?
दर A = 1/6 प्रति दिन
दर B = 1/4 प्रति दिन
संयुक्त दर = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 प्रति दिन
समय = 1 ÷ (5/12) = 12/5 = 2.4 दिन = 2 दिन 9 घंटे 36 मिनट
सामान्य विविधताएँ
आंशिक कार्य (Partial work): A, 3 दिनों तक अकेले कार्य करता है और फिर B उसमें शामिल होता है। पहले A द्वारा किए गए कार्य की गणना करें, फिर शेष कार्य के लिए संयुक्त दर लागू करें।
श्रमिक का जल्दी काम छोड़ना: A और B एक साथ शुरू करते हैं; A, t घंटों के बाद छोड़ देता है। t घंटों के लिए संयुक्त दर का उपयोग करें, फिर शेष कार्य के लिए B की व्यक्तिगत दर का उपयोग करें।
विपरीत समस्या (Reverse problem): संयुक्त समय और एक श्रमिक का समय दिए जाने पर, 1/TB = 1/T − 1/TA का उपयोग करके दूसरे श्रमिक का समय ज्ञात करें।
दक्षता अनुपात (Efficiency ratio): दक्षता अनुपात को आसानी से समय में बदला जा सकता है: यदि A, B से दोगुना तेज़ है और B कार्य को T समय में करता है, तो A उसे T/2 समय में करेगा।
प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए टिप्स
समय और कार्य की समस्याएं CAT, GRE, GMAT और सरकारी प्रतियोगी परीक्षाओं में नियमित रूप से पूछी जाती हैं। यहाँ कुछ महत्वपूर्ण टिप्स दी गई हैं:
LCM को कुल कार्य मानें — यह भिन्नों के कठिन जोड़-घटाव से बचाता है और गणना को तेज़ करता है।
दो श्रमिकों के लिए शॉर्टकट: T = (T₁ × T₂) / (T₁ + T₂) — इस सूत्र को याद रखें।
गणना करने से पहले सभी समय इकाइयों (घंटे, दिन या मिनट) को समान रूप में बदलें।
पाइप समस्याओं के लिए, दरों को उनके संकेत के साथ लिखें: भरना = सकारात्मक (+), खाली करना = नकारात्मक (−)।
हमेशा जांचें: संयुक्त समय हमेशा सबसे तेज़ कार्यकर्ता के व्यक्तिगत समय से कम होना चाहिए।
Frequently Asked Questions
कार्य दर समस्या यह पूछती है कि प्रत्येक श्रमिक या पाइप के व्यक्तिगत समय को देखते हुए, उन्हें मिलकर किसी काम को करने में कितना समय लगेगा। मुख्य सिद्धांत यह है कि दरें (प्रति इकाई समय में किया गया कार्य) जुड़ती हैं।
यदि प्रत्येक श्रमिक अकेले T₁, T₂, ..., Tₙ समय लेता है, तो उनकी संयुक्त दर 1/T₁ + 1/T₂ + ... + 1/Tₙ होगी। मिलकर काम पूरा करने में लगा समय = 1 ÷ (संयुक्त दर) होगा।
संयुक्त दर = 1/6 + 1/4 = 5/12 प्रति दिन। संयुक्त समय = 12/5 = 2.4 दिन (2 दिन 9 घंटे और 36 मिनट)। शॉर्टकट: T = (6×4)/(6+4) = 24/10 = 2.4 दिन।
संरचनात्मक रूप से वे समान हैं — लेकिन पाइप समस्याओं में टंकी को खाली करने वाले पाइप भी हो सकते हैं। उनकी दरों को जोड़ने के बजाय भरने वाले पाइपों की दरों से घटाया जाता है।
खाली करने वाले पाइपों को ऋणात्मक दर दें। शुद्ध दर = (भरने की दरों का योग) − (खाली करने की दरों का योग)। यदि शुद्ध दर धनात्मक है, तो टंकी भरेगी; ऋणात्मक है तो यह खाली होगी। समय = 1 / |शुद्ध दर|।
सूत्र का उपयोग करें: 1/TB = 1/T − 1/TA, इसलिए TB = TA × T / (TA − T)। यह तभी मान्य है जब T का मान TA से कम हो (संयुक्त समय किसी एक के solo समय से कम होना चाहिए)।
LCM विधि का उपयोग करें: कुल कार्य = सभी समयों का LCM, प्रत्येक कार्यकर्ता का प्रति दिन का कार्य ज्ञात करें, उन्हें जोड़कर संयुक्त आउटपुट प्राप्त करें और कुल कार्य को संयुक्त आउटपुट से विभाजित करें।