मर्सैन अभाज्य संख्या कैलकुलेटर (Mersenne Prime Checker)
ल्यूक-लेहमर परीक्षण का उपयोग करके जांचें कि क्या 2p−1 अभाज्य है
BigInt का उपयोग करके 127 तक के घातांकों की सटीक गणना की जाती है (बड़ी संख्याओं के लिए सूची देखें)। 2^p−1 के अभाज्य होने की संभावना के लिए p का स्वयं अभाज्य होना आवश्यक है।
2024 तक सभी 51 ज्ञात मर्सैन अभाज्य संख्याएँ। मर्सैन अभाज्य संख्याएँ 2p−1 के रूप की होती हैं।
| क्रमांक | p (घातांक) | 2^p − 1 | अंकों की संख्या | खोज वर्ष | खोजकर्ता |
|---|
ल्यूक-लेहमर परीक्षण (Lucas-Lehmer test) जाँच करता है कि Mp = 2p−1 अभाज्य है या नहीं। s₀ = 4 से प्रारंभ करें, फिर si+1 = si² − 2 (mod Mp) करें। Mp तभी अभाज्य होता है जब sp−2 ≡ 0 (mod Mp) हो।
शैक्षणिक उद्देश्यों के लिए, p ≤ 61 तक के चरण दिखाए जाते हैं (बड़े मानों के चरणों को स्क्रीन पर प्रदर्शित करना कठिन होगा)।
मर्सैन अभाज्य संख्याओं के बारे में
एक मर्सैन अभाज्य संख्या (Mersenne prime) 2p−1 के रूप की एक अभाज्य संख्या होती है, जहाँ घातांक p स्वयं भी अभाज्य होना चाहिए (यद्यपि यह आवश्यक नहीं कि प्रत्येक अभाज्य p एक मर्सैन अभाज्य संख्या ही उत्पन्न करे)। इनका नाम 17वीं सदी के एक फ्रांसीसी भिक्षु मारिन मर्सैन (Marin Mersenne) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इनका व्यापक अध्ययन किया था।
मुख्य तथ्य:
- 2024 तक केवल 51 मर्सैन अभाज्य संख्याएँ खोजी जा सकी हैं
- विश्व की सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या हमेशा मर्सैन अभाज्य संख्या के रूप में पाई जाती है
- वर्तमान रिकॉर्ड (M82589933) में 24,862,048 दशमलव अंक हैं
- GIMPS प्रोजेक्ट नई संख्याओं को खोजने के लिए वितरित कंप्यूटिंग का उपयोग करता है
- यह अभी भी अनसुलझा है कि क्या मर्सैन अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
2^p−1 के अभाज्य होने के लिए p का स्वयं अभाज्य होना क्यों आवश्यक है?
यदि p = ab (एक भाज्य संख्या) है जहाँ a, b > 1 हैं, तो 2^a − 1 हमेशा 2^(ab) − 1 को विभाजित करेगा। इसलिए 2^p − 1 भी भाज्य बन जाएगी। इसलिए, एक मर्सैन संख्या के अभाज्य होने के लिए उसके घातांक p का स्वयं अभाज्य होना आवश्यक है (यद्यपि इसका विपरीत हमेशा सत्य नहीं होता)।
ल्यूक-लेहमर परीक्षण (Lucas-Lehmer test) कैसे काम करता है?
एक विषम अभाज्य p के लिए, s₀ = 4 और s_{i+1} = s_i² − 2 (mod 2^p − 1) परिभाषित करें। मर्सैन संख्या M_p = 2^p − 1 तभी अभाज्य होती है यदि s_{p−2} ≡ 0 (mod M_p) हो। मर्सैन संख्याओं की विशिष्ट संरचना के कारण यह परीक्षण सामान्य अभाज्य परीक्षणों से कहीं अधिक तीव्र होता है।
GIMPS प्रोजेक्ट क्या है?
द ग्रेट इंटरनेट मर्सैन प्राइम सर्च (GIMPS) एक विश्वव्यापी वितरित कंप्यूटिंग परियोजना है जहाँ स्वयंसेवक मर्सैन अभाज्य संख्याओं का परीक्षण करने के लिए अपने कंप्यूटर पर सॉफ़्टवेयर चलाते हैं। 1996 में शुरू हुए GIMPS ने M35 (2^1,398,269−1) के बाद से सभी मर्सैन अभाज्य संख्याओं की खोज की है।
क्या मर्सैन अभाज्य संख्याएँ पूर्ण संख्याओं (Perfect Numbers) से संबंधित हैं?
हाँ! प्रत्येक सम पूर्ण संख्या 2^(p−1) × (2^p − 1) के रूप की होती है, जहाँ (2^p − 1) एक मर्सैन अभाज्य संख्या है। इसे यूलर (और आंशिक रूप से यूक्लिड) द्वारा सिद्ध किया गया था। पहली चार पूर्ण संख्याएँ 6, 28, 496, और 8128 हैं — जो p = 2, 3, 5, 7 के मर्सैन अभाज्य के संगत हैं।
विश्व की सबसे बड़ी ज्ञात मर्सैन अभाज्य संख्या कौन सी है?
वर्तमान में, सबसे बड़ी ज्ञात मर्सैन अभाज्य संख्या 2^82,589,933 − 1 है, जिसे दिसंबर 2018 में पैट्रिक लारोशे द्वारा खोजा गया था। इसमें 24,862,048 दशमलव अंक हैं और यह विश्व की सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या भी है।
क्या मर्सैन अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं?
यह अभी भी अज्ञात है। लेनस्ट्रा-पोमेरेंस-वैगस्टाफ (Lenstra-Pomerance-Wagstaff) अनुमान भविष्यवाणी करता है कि वे अनंत हैं, लेकिन अभी तक इसका कोई पूर्ण प्रमाण मौजूद नहीं है।
मारिन मर्सैन कौन थे?
मारिन मर्सैन (1588-1648) एक फ्रांसीसी धर्मशास्त्री, दार्शनिक और गणितज्ञ थे। उन्होंने अपने युग के प्रमुख वैज्ञानिकों (फर्मेट, पास्कल, डेसकार्टेस) के साथ पत्र-व्यवहार किया और उन्हें 2^p-1 के अभाज्य होने की वकालत करने का श्रेय दिया जाता है। उन्होंने मर्सैन अभाज्य की शुरुआती सूचियां तैयार की थीं।
क्या मर्सैन अभाज्य घातांकों का कोई पैटर्न है?
नहीं, इनका कोई स्पष्ट पैटर्न नहीं मिला है। घातांक (2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127...) अनियमित प्रतीत होते हैं। उनके बीच के कई अभाज्य घातांक (जैसे 11, 23, 29, 37...) मर्सैन अभाज्य संख्या नहीं देते। अगली संख्या खोजने के लिए भारी गणनाओं की आवश्यकता होती है।