परफेक्ट नंबर चेकर
किसी भी धनात्मक पूर्णांक के उचित विभाजक (proper divisors), उचित विभाजकों का योग (aliquot sum), और वर्गीकरण (परफेक्ट, समृद्ध, या न्यून) खोजने के लिए उसे दर्ज करें।
प्रथम पांच ज्ञात परफेक्ट संख्याएँ (Perfect Numbers)
| # | परफेक्ट संख्या | मर्सैन अभाज्य (p) | सूत्र: 2^(p−1) × (2^p−1) |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | p = 2 | 2¹ × 3 |
| 2 | 28 | p = 3 | 2² × 7 |
| 3 | 496 | p = 5 | 2⁴ × 31 |
| 4 | 8,128 | p = 7 | 2⁶ × 127 |
| 5 | 33,550,336 | p = 13 | 2¹² × 8191 |
परफेक्ट संख्या (Perfect Number) क्या है?
एक परफेक्ट संख्या (perfect number) वह धनात्मक पूर्णांक है जो अपने सभी उचित विभाजकों (proper divisors) के योग के बराबर होता है — उस संख्या को छोड़कर प्रत्येक धनात्मक विभाजक। प्राचीन यूनानियों ने ऐसी संख्याओं को "उत्कृष्ट" या "पूर्ण" कहा। सबसे छोटी परफेक्ट संख्या 6 है, जिसके उचित विभाजक 1, 2 और 3 हैं, और 1 + 2 + 3 = 6 है।
यह अवधारणा कम से कम गेरासा के निकोमाचस (~100 ईस्वी) की है, जिन्होंने संख्याओं को परफेक्ट, समृद्ध (जब विभाजकों का योग संख्या से अधिक हो), और न्यून (जब विभाजकों का योग संख्या से कम हो) में वर्गीकृत किया था। प्रत्येक सम परफेक्ट संख्या यूलर द्वारा सिद्ध किए गए एक प्रमेय के माध्यम से मर्सैन अभाज्य (Mersenne prime) — 2^p − 1 के रूप वाले अभाज्य — से निकटता से जुड़ी हुई है।
परफेक्ट बनाम समृद्ध (Abundant) बनाम न्यून (Deficient) संख्याएँ
परफेक्ट (Perfect)
उचित विभाजकों का योग = n
6, 28, 496, 8128…
समृद्धि सूचकांक = 1
समृद्ध (Abundant)
उचित विभाजकों का योग > n
12, 18, 20, 24…
समृद्धि सूचकांक > 1
न्यून (Deficient)
उचित विभाजकों का योग < n
1, 2, 3, 4, 9, 15…
समृद्धि सूचकांक < 1
सभी अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) न्यून होती हैं क्योंकि अभाज्य p का एकमात्र उचित विभाजक 1 है, और 1 < p। 2 की घातें भी हमेशा न्यून होती हैं: 2^k के उचित विभाजक 1, 2, 4, …, 2^(k−1) होते हैं, जिनका योग 2^k − 1 होता है जो कि 2^k से ठीक एक कम है।
समृद्ध संख्याएँ परफेक्ट संख्याओं की तुलना में अधिक आम हैं — इनमें से अनंत संख्याएँ हैं। सबसे छोटी समृद्ध संख्या 12 है, और सभी धनात्मक पूर्णांकों में से लगभग 25% समृद्ध हैं। पहली विषम समृद्ध संख्या 945 = 3³ × 5 × 7 है।
परफेक्ट संख्याओं का इतिहास
परफेक्ट संख्याओं ने 2,000 से अधिक वर्षों से गणितज्ञों को आकर्षित किया है। यूक्लिड (~300 ईसा पूर्व) ने Elements बुक IX में दिखाया कि यदि 2^p − 1 अभाज्य है, तो 2^(p−1) × (2^p − 1) परफेक्ट है। यह मर्सैन अभाज्य संख्याओं से सम परफेक्ट संख्याएँ बनाने की विधि देता है। दो सहस्राब्दियों से भी अधिक समय के बाद, लियोनार्ड यूलर ने इसके विपरीत साबित किया: प्रत्येक सम परफेक्ट संख्या का यही रूप होना चाहिए। दोनों मिलकर यूलर-यूक्लिड प्रमेय सम परफेक्ट संख्याओं का पूरी तरह से वर्णन करता है।
मध्यकालीन विद्वानों ने परफेक्ट संख्याओं को धार्मिक प्रतीकों से जोड़ा। सेंट ऑगस्टीन ने City of God (426 ईस्वी) में लिखा था कि भगवान ने 6 दिनों में दुनिया बनाई क्योंकि 6 परफेक्ट है। मर्सैन ने खुद 1644 में उम्मीदवार अभाज्य संख्याओं 2^p − 1 की एक प्रसिद्ध सूची संकलित की थी।
सम परफेक्ट संख्याओं पर यूलर का प्रमेय
यूलर का प्रमेय बताता है: प्रत्येक सम परफेक्ट संख्या का रूप 2^(p−1) × (2^p − 1) होता है, जहाँ 2^p − 1 एक मर्सैन अभाज्य है और p स्वयं अभाज्य होना चाहिए। इसका मतलब है कि नई सम परफेक्ट संख्या खोजना बिल्कुल नया मर्सैन अभाज्य खोजने के बराबर है — एक ऐसी खोज जिसे ग्रेट इंटरनेट मर्सैन प्राइम सर्च (GIMPS) ने 1996 से वितरित कंप्यूटिंग का उपयोग करके स्वचालित किया है।
किसी संख्या n का समृद्धि सूचकांक σ(n)/n होता है, जहाँ σ(n) संख्या n सहित सभी विभाजकों का योग है। परफेक्ट संख्या के लिए σ(n)/n = 2 है। समृद्ध संख्या के लिए, σ(n)/n > 2 है; न्यून संख्या के लिए, σ(n)/n < 2 है।
खुली समस्या (Open Problem): क्या विषम परफेक्ट संख्याएँ मौजूद हैं?
यह गणित में सबसे पुरानी अनसुलझी समस्याओं में से एक है। सदियों के प्रयासों के बावजूद, कभी भी कोई विषम परफेक्ट संख्या नहीं पाई गई है। व्यापक कंप्यूटर खोजों से पता चला है कि यदि कोई मौजूद है, तो वह 10¹⁵⁰⁰ से अधिक होनी चाहिए और कई कठिन शर्तों को पूरा करनी चाहिए: इसके कम से कम 101 अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए, कम से कम 10 अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड होने चाहिए। अधिकांश गणितज्ञों को दृढ़ संदेह है कि कोई भी विषम परफेक्ट संख्या मौजूद नहीं है, लेकिन कोई प्रमाण नहीं मिला है।