अर्ध-दीर्घ और अर्ध-लघु अक्षों से क्षेत्रफल, परिमाप, उत्केंद्रता और नाभि गुणों की गणना करें।
b से बड़ा या बराबर (≥) होना चाहिए
दीर्घवृत्त आरेख (Ellipse Diagram)
दीर्घवृत्त (Ellipse) क्या है?
एक दीर्घवृत्त (ellipse) एक बंद, अंडाकार आकार का समतल वक्र है और चार शंकु वर्गों (conic sections) में से एक है। इसे समतल में उन सभी बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके लिए दो निश्चित बिंदुओं (जिन्हें नाभि या foci कहा जाता है) से दूरियों का योग स्थिर रहता है और 2a के बराबर होता है। जब दोनों नाभि एक ही स्थान पर आ जाती हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है। जैसे-जैसे नाभि एक-दूसरे से दूर होती जाती हैं, दीर्घवृत्त अधिक लंबा होता जाता है।
दीर्घवृत्त की दो अक्षों द्वारा विशेषता होती है: दीर्घ अक्ष (major axis) (लंबा वाला, लंबाई 2a) और लघु अक्ष (minor axis) (छोटा वाला, लंबाई 2b)। अर्ध-दीर्घ अक्ष a और अर्ध-लघु अक्ष b केंद्र से मापे गए इन लंबाईयों के क्रमशः आधे होते हैं।
क्षेत्रफल का सूत्र: A = πab
दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र बेहद सरल और सुंदर है:
क्षेत्रफल (Area) = π × a × b
यह सूत्र वृत्त के क्षेत्रफल का एक स्वाभाविक विस्तार है। जब a = b = r होता है, तो यह सूत्र πr² बन जाता है — जो वृत्त का चिरपरिचित सूत्र है। यह सूत्र परिमाप सन्निकटन के विपरीत बिल्कुल सटीक है। आप इसे समाकलन (integration) के माध्यम से सत्यापित कर सकते हैं: क्षेत्रफल = ∫∫ दीर्घवृत्त पर dA = π·a·b।
दीर्घवृत्त का परिमाप (Perimeter of an Ellipse)
क्षेत्रफल के विपरीत, दीर्घवृत्त के परिमाप (परिधि) के लिए कोई सरल सटीक सूत्र नहीं है। सटीक परिमाप के लिए एक दीर्घवृत्तीय समाकलन (elliptic integral) की आवश्यकता होती है, जो एक विशेष कार्य है जिसे बुनियादी गणितीय संक्रियाओं द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। महान भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने 1914 में एक अत्यंत सटीक सन्निकटन की खोज की थी:
परिमाप (P) ≈ π × [3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))]
यह सन्निकटन अधिकांश व्यावहारिक दीर्घवृत्तों के लिए 14 मिलियन में 1 भाग की सीमा तक सटीक है। लगभग गोलाकार दीर्घवृत्तों (कम उत्केंद्रता) के लिए यह और भी अधिक सटीक है। एक सरल लेकिन कम सटीक सन्निकटन P ≈ 2π√((a²+b²)/2) है (अधिकांश दीर्घवृत्तों के लिए 3% के भीतर)।
उत्केंद्रता (Eccentricity) की व्याख्या
उत्केंद्रता (eccentricity - e) 0 और 1 के बीच की एक संख्या है जो यह मापती है कि एक दीर्घवृत्त कितना "लंबा" या फैला हुआ है। इसकी गणना e = √(1 − b²/a²) के रूप में की जाती है जहाँ a ≥ b होता है। 0 की उत्केंद्रता एक आदर्श वृत्त दर्शाती है; जैसे-जैसे e का मान 1 की ओर बढ़ता है, दीर्घवृत्त और अधिक चपटा होता जाता है।
e = 0
पूर्ण वृत्त (a = b)
e ≈ 0.0167
पृथ्वी की कक्षा
e → 1
अत्यधिक फैला हुआ (सीमा पर परवलय)
प्रकृति और इंजीनियरिंग में दीर्घवृत्त
ग्रहों की कक्षाएँ: केप्लर का पहला नियम बताता है कि ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्तीय पथों में परिक्रमा करते हैं, जिसमें सूर्य एक नाभि पर होता है। पृथ्वी की कक्षा लगभग गोलाकार है (e ≈ 0.0167)।
स्टेडियम की छतें: कई आधुनिक खेल एरिना और स्टेडियम दीर्घवृत्तीय छत डिजाइनों का उपयोग करते हैं जो पूरे स्पैन में संरचनात्मक भार को कुशलतापूर्वक वितरित करते हैं।
चिकित्सा इमेजिंग: लिथोट्रिप्सी मशीनें एक नाभि से दूसरी नाभि (गुर्दे की पथरी) पर पराध्वनिक शॉक तरंगों को केंद्रित करने के लिए दीर्घवृत्तीय परावर्तक गुण का उपयोग करती हैं।
ऑप्टिक्स (प्रकाशिकी): दीर्घवृत्तीय दर्पण प्रकाश को एक नाभि से दूसरी नाभि पर परावर्तित करते हैं, जिनका उपयोग दूरबीनों, सूक्ष्मदर्शियों और सटीक ऑप्टिकल उपकरणों में किया जाता है।
व्हिस्परिंग गैलरी (कानाफूसी दीर्घाएँ): दीर्घवृत्तीय कमरों की छतें (जैसे अमेरिकी कैपिटल का स्टेटुआरी हॉल) ध्वनिक विसंगतियाँ पैदा करती हैं — एक नाभि पर फुसफुसाया गया शब्द दूसरी नाभि पर स्पष्ट रूप से सुना जा सकता है।
इंजीनियरिंग आरेखण: कोण से देखे जाने पर वृत्त दीर्घवृत्त के रूप में दिखाई देते हैं। दीर्घवृत्त टेम्पलेट तकनीकी ड्राइंग और CAD कार्यों के लिए मानक उपकरण हैं।
वृत्त और अन्य आकृतियों के साथ तुलना
आकृति
क्षेत्रफल
परिमाप
नाभि (Foci)
वृत्त (a=b=r)
πr²
2πr
एक (केंद्र)
दीर्घवृत्त
πab
रामानुजन सन्निकटन
दो (±c, 0)
आयत (2a×2b)
4ab
4(a+b)
—
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल A = π × a × b है, जहाँ a अर्ध-दीर्घ अक्ष और b अर्ध-लघु अक्ष है। यह वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का सामान्यीकरण है: जब a = b = r होता है, तो यह πr² देता है।
अर्ध-दीर्घ अक्ष (a) सबसे लंबे व्यास की आधी लंबाई है। अर्ध-लघु अक्ष (b) सबसे छोटे व्यास की आधी लंबाई है, जो दीर्घ अक्ष के लंबवत होता है। परिपाटी के अनुसार a ≥ b > 0 होता है।
हाँ। जब a = b = r होता है, तो दीर्घवृत्त का समीकरण x²/a² + y²/b² = 1 बदलकर x²/r² + y²/r² = 1 हो जाता है, जो x² + y² = r² यानी एक वृत्त का समीकरण है। इसकी उत्केंद्रता 0 होती है और दोनों नाभि केंद्र पर विलीन हो जाती हैं।
सटीक परिमाप के लिए एक दीर्घवृत्तीय समाकलन (elliptic integral) की आवश्यकता होती है जिसे प्राथमिक कार्यों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता। गणितज्ञों ने साबित किया है कि यह अपरिहार्य है। रामानुजन का सन्निकटन व्यावहारिक उपयोग के लिए अत्यंत सटीक (त्रुटि < 14 मिलियन में 1) और व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
उत्केंद्रता e = √(1 − b²/a²) 0 से 1 के पैमाने पर खिंचाव को मापती है। एक वृत्त की उत्केंद्रता e = 0 होती है। जैसे-जैसे e का मान 1 के करीब पहुंचता है, दीर्घवृत्त एक बहुत ही संकीर्ण और चपटी आकृति में बदल जाता है। पृथ्वी की कक्षा लगभग वृत्ताकार (e ≈ 0.0167) है; मंगल की e ≈ 0.093 है; प्लूटो की e ≈ 0.248 है।
नाभि (foci) (±c, 0) पर स्थित दो विशिष्ट आंतरिक बिंदु होते हैं, जहाँ c = √(a²−b²) होता है। इसकी परिभाषित विशेषता: दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु P के लिए, दूरी(P, F₁) + दूरी(P, F₂) = 2a (एक स्थिरांक) होता है। इस गुण का उपयोग उपग्रह डिश, ऑप्टिक्स और लिथोट्रिप्सी में किया जाता है।
दीर्घवृत्त ग्रहों की कक्षाओं (केप्लर का प्रथम नियम), स्टेडियम की छत के डिजाइन, अण्डाकार व्यायाम मशीनों, कानाफूसी दीर्घाओं, गुर्दे की पथरी को तोड़ने वाले चिकित्सा उपकरणों (लिथोट्रिप्सी), ऑप्टिकल दर्पणों और गियर डिजाइनों में दिखाई देते हैं। कोण से देखी गई कोई भी गोलाकार वस्तु भी दीर्घवृत्त के रूप में दिखाई देती है।