बल आघूर्ण (Torque) कैलकुलेटर – τ = rF sinθ, जड़त्व आघूर्ण और घूर्णन

त्वरित प्रीसेट

किसके लिए हल करें

बल F (Force)

लीवर आर्म r (Lever Arm)

कोण θ (डिग्री - Angle)

°

बल आघूर्ण τ (Torque)

मूल बल आघूर्ण इनपुट — मूल टैब के समान ही है। Solve-for चयनकर्ता यहाँ भी लागू होता है।

वस्तु की आकृति (Shape)

द्रव्यमान M (Mass)

kg

त्रिज्या R (Radius)

m

परिणामी जड़त्व आघूर्ण I

—

kg·m²

बल आघूर्ण τ (N·m)

जड़त्व आघूर्ण I (kg·m²)

कोण θ (रेडियन - Angle)

कोणीय वेग ω (rad/s)

आप जिसे हल करना चाहते हैं उसका चयन करें, ज्ञात मान दर्ज करें और तुरंत परिणाम प्राप्त करें।

बल आघूर्ण (Torque) क्या है?

बल आघूर्ण (Torque) (जिसे बल का आघूर्ण भी कहा जाता है) रैखिक बल का घूर्णी समकक्ष है। यह मापता है कि कोई बल किसी वस्तु को किसी धुरी या अक्ष के परितः घुमाने का कितना कारण बनता है। जब आप रेंच से बोल्ट कसते हैं, दरवाजा धक्का देकर खोलते हैं, या साइकिल का पेडल मारते हैं, तो आप बल आघूर्ण लगा रहे होते हैं।

मुख्य बात यह है कि वही बल अधिक बल आघूर्ण उत्पन्न करता है यदि इसे धुरी से अधिक दूरी पर लगाया जाए, या यदि इसे लंबवत लगाया जाए। यही कारण है कि एक लंबा रेंच फंसे हुए बोल्ट को ढीला करना आसान बनाता है।

τ = rF sinθ

बुनियादी बल आघूर्ण सूत्र

τ = Iα

घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम

W = τθ

घूर्णन कार्य (जूल)

बल आघूर्ण सूत्र τ = rF sinθ

किसी बल द्वारा उत्पन्न बल आघूर्ण तीन कारकों पर निर्भर करता है:

r — लीवर आर्म: धुरी से उस बिंदु की दूरी जहाँ बल लगाया जाता है (मीटर)
F — लगाए गए बल का परिमाण (न्यूटन)
θ — बल वेक्टर और लीवर आर्म की दिशा के बीच का कोण

τ = r × F × sin(θ)

θ = 90° पर अधिकतम बल आघूर्ण प्राप्त होता है (बल आर्म के लंबवत)

जब θ = 90° होता है, तो sin(90°) = 1 होता है और पूरा बल घूर्णन में योगदान देता है। जब θ = 0° या 180° होता है, तो बल आर्म के समानांतर होता है और कोई घूर्णन उत्पन्न नहीं करता है।

सामान्य आकृतियों के लिए जड़त्व आघूर्ण

जड़त्व आघूर्ण (Moment of inertia - I) घूर्णी जड़त्व को मापता है — घूर्णन में बदलाव के प्रति किसी वस्तु का प्रतिरोध। यह कुल द्रव्यमान और उस द्रव्यमान के वितरण दोनों पर निर्भर करता है।

आकृति (Shape)	सूत्र (Formula)
ठोस डिस्क / बेलन (Solid disk / cylinder)	I = ½MR²
हूप / पतली रिंग (Hoop / thin ring)	I = MR²
ठोस गोला (Solid sphere)	I = (2/5)MR²
पतली गोलाकार शेल (Thin spherical shell)	I = (2/3)MR²
केंद्र के परितः छड़ (Rod about center)	I = (1/12)ML²
सिरे के परितः छड़ (Rod about end)	I = (1/3)ML²
बिंदु द्रव्यमान (Point mass)	I = mr²

घूर्णन के लिए न्यूटन का द्वितीय नियम

जैसे F = ma रैखिक गति को नियंत्रित करता है, वैसे ही τ = Iα घूर्णी गति को नियंत्रित करता है। कुल बल आघूर्ण, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है:

α = τ / I (rad/s²)

I = 0.9 kg·m² वाली ठोस डिस्क पर 50 N·m का बल आघूर्ण α = 50/0.9 ≈ 55.6 rad/s² कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है। समान द्रव्यमान के हूप पर समान बल आघूर्ण कम कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है क्योंकि इसका जड़त्व आघूर्ण अधिक होता है।

घूर्णी कार्य और शक्ति

घूर्णी कार्य (Rotational Work)

W = τ · θ

θ रेडियन में, W जूल में

घूर्णी शक्ति (Rotational Power)

P = τ · ω

ω rad/s में, P वाट में

ये W = Fd और P = Fv के घूर्णी समकक्ष हैं। 100 rad/s की गति पर 100 N·m उत्पन्न करने वाला मोटर 10,000 W = 10 kW शक्ति प्रदान करता है।

वास्तविक दुनिया में अनुप्रयोग

ऑटोमोटिव इंजन

इंजन का बल आघूर्ण (N·m) वाहन की खींचने की क्षमता निर्धारित करता है; हॉर्सपावर (kW) वास्तव में बल आघूर्ण × RPM है।

फास्टनर कसना

टॉर्क रेंच यह सुनिश्चित करते हैं कि बोल्ट उचित सीमा तक कसे जाएं — बहुत कम होने पर जोड़ ढीले हो जाते हैं; बहुत अधिक होने पर बोल्ट टूट सकते हैं।

साइकिल और गियर

गियर अनुपात गति के बदले बल आघूर्ण का व्यापार करते हैं। कम गियर चढ़ाई के लिए उच्च बल आघूर्ण प्रदान करते हैं; उच्च गियर गति बढ़ाते हैं।

संरचनात्मक इंजीनियरिंग

भार के तहत बीम बेंडिंग मोमेंट (बल आघूर्ण) का अनुभव करते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि संरचनाएं झुककर टूटे नहीं, बीम मोमेंट की गणना की जाती है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 — रेंच और बोल्ट (θ=90°)

दिया है: F=200 N, r=0.25 m, θ=90°

τ = rF sin(90°) = 0.25 × 200 × 1

τ = 50 N·m

उदाहरण 2 — कोणीय रेंच (θ=60°)

दिया है: F=200 N, r=0.25 m, θ=60°

τ = 0.25 × 200 × sin(60°)

= 50 × 0.866 = 43.3 N·m

उदाहरण 3 — ठोस डिस्क का जड़त्व आघूर्ण

दिया है: M=20 kg, R=0.3 m (डिस्क)

I = ½ × 20 × 0.3² = ½ × 20 × 0.09

I = 0.9 kg·m²

उदाहरण 4 — कोणीय त्वरण

दिया है: τ=50 N·m, I=0.9 kg·m²

α = τ/I = 50 / 0.9

α = 55.6 rad/s²

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

बल आघूर्ण (τ) बल का घूर्णी समकक्ष है। यह मापता है कि किसी वस्तु पर लगने वाला बल उसे किसी अक्ष के परितः घुमाने का कितना कारण बनता है। बल आघूर्ण बल के परिमाण, धुरी से दूरी (लीवर आर्म), और बल तथा लीवर आर्म के बीच के कोण पर निर्भर करता है।

बल आघूर्ण का सूत्र τ = r × F × sin(θ) है, जहाँ r लीवर आर्म की लंबाई (धुरी से उस बिंदु की दूरी जहाँ बल लगाया जाता है) है, F लगाया गया बल है, और θ बल वेक्टर और लीवर आर्म के बीच का कोण है। अधिकतम बल आघूर्ण θ = 90° पर होता है।

sin(θ) शब्द लीवर आर्म के लंबवत बल के प्रभावी घटक को दर्शाता है। केवल लंबवत घटक ही घूर्णन उत्पन्न करता है। 90° पर (बल आर्म के लंबवत), sin(90°) = 1 होता है और बल आघूर्ण अधिकतम होता है। 0° या 180° पर (बल आर्म के समानांतर), sin = 0 होता है और बल आघूर्ण शून्य होता है।

जड़त्व आघूर्ण (I) किसी वस्तु के कोणीय त्वरण के प्रति प्रतिरोध का माप है — यह द्रव्यमान का घूर्णी समकक्ष है। यह इस बात पर निर्भर करता है कि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण कैसे किया गया है। एक खोखले छल्ले का जड़त्व आघूर्ण I = MR² होता है जबकि ठोस डिस्क का I = ½MR² होता है।

बल F = ma के अनुसार रैखिक (स्थानान्तरणीय) त्वरण का कारण बनता है। बल आघूर्ण τ = Iα के अनुसार कोणीय (घूर्णी) त्वरण का कारण बनता है। बल को न्यूटन में मापा जाता है; बल आघूर्ण को न्यूटन-मीटर (N·m) में मापा जाता है।

घूर्णन के लिए न्यूटन का दूसरा नियम बताता है कि τ = I × α, जहाँ τ शुद्ध बल आघूर्ण (N·m) है, I जड़त्व आघूर्ण (kg·m²) है, और α कोणीय त्वरण (rad/s²) है। यह F = ma का घूर्णी समकक्ष है। किसी दिए गए पिंड पर अधिक बल आघूर्ण अधिक कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है।

समांतर अक्ष प्रमेय बताता है कि किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण, द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले समानांतर अक्ष के जड़त्व आघूर्ण और M×d² के योग के बराबर होता है, जहाँ M कुल द्रव्यमान है और d अक्षों के बीच की दूरी है: I = I_cm + Md²।

बल आघूर्ण की SI इकाई न्यूटन-मीटर (N·m) है। अन्य सामान्य इकाइयों में शामिल हैं: kN·m (किलोन्यूटन-मीटर), N·cm, lbf·ft (पाउंड-बल फुट, 1 lbf·ft = 1.35582 N·m), और lbf·in (1 lbf·in = 0.11298 N·m)।

बल आघूर्ण कैलकुलेटर

चरण-दर-चरण समाधान