सम षट्भुज का क्षेत्रफल कैलकुलेटर

इकाई:

भुजा (s)

cm

अंतःत्रिज्या (a)

cm

क्षेत्रफल (A)

cm²

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सम षट्भुज आरेख

सम षट्भुज के सूत्र

भुजा से

A = (3√3 ÷ 2) × s²

≈ 2.598 × s²। भुजा का वर्ग करें, 2.598 से गुणा करें।

अंतःत्रिज्या

a = (√3 ÷ 2) × s

≈ 0.866 × s। केंद्र से किसी भी भुजा तक लंबवत दूरी।

परिमाप

P = 6 × s

छह बराबर भुजाएँ, प्रत्येक की लंबाई s।

अंतःत्रिज्या से

s = (2 ÷ √3) × a

≈ 1.1547 × a। साथ ही: R = s (परित्रिज्या भुजा के बराबर)।

सम षट्भुज क्या है?

सम षट्भुज एक छह भुजाओं वाला बहुभुज है जिसमें सभी छह भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं और सभी छह आंतरिक कोण बराबर होते हैं (प्रत्येक 120°)। यह उन केवल तीन सम बहुभुजों में से एक है जो बिना किसी अंतराल के समतल को टाइल कर सकते हैं — अन्य दो हैं समबाहु त्रिभुज और वर्ग।

एक उल्लेखनीय गुण: सम षट्भुज को ठीक 6 समबाहु त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, जो सभी केंद्र पर मिलते हैं। इसका अर्थ है कि परित्रिज्या (केंद्र-से-शीर्ष दूरी) भुजा की लंबाई के बराबर होती है — यह गुण सभी सम बहुभुजों में केवल सम षट्भुज में पाया जाता है।

120°

सम षट्भुज का प्रत्येक आंतरिक कोण

R = s

परित्रिज्या भुजा की लंबाई के बराबर

2.598 s²

भुजा की लंबाई के पदों में क्षेत्रफल

हल किया गया उदाहरण

6 cm भुजा वाला सम षट्भुज

दिया गया: s = 6 cm

क्षेत्रफल: A = (3√3/2) × 6² = (3√3/2) × 36 = 54√3 ≈ 93.53 cm²

अंतःत्रिज्या: a = (√3/2) × 6 = 3√3 ≈ 5.196 cm

परित्रिज्या: R = s = 6 cm

परिमाप:P = 6 × 6 = 36 cm

सामान्य षट्भुज माप

भुजा	अंतःत्रिज्या	क्षेत्रफल	परिमाप
5 cm	4.33 cm	64.95 cm²	30 cm
6 cm	5.20 cm	93.53 cm²	36 cm
10 cm	8.66 cm	259.81 cm²	60 cm
15 m	12.99 m	584.57 m²	90 m
20 m	17.32 m	1039.23 m²	120 m

वास्तविक जीवन में उपयोग

🐝

प्रकृति — मधुमक्खी का छत्ता

छत्ते की कोशिकाएँ सम षट्भुज होती हैं — कम से कम मोम का उपयोग करके सबसे अधिक क्षेत्रफल भरने के लिए सबसे कुशल आकार।

⚙️

इंजीनियरिंग — हार्डवेयर

षट्भुजाकार नट, बोल्ट और रिंच हेड इष्टतम टॉर्क और पकड़ के लिए सम षट्भुज आकार का उपयोग करते हैं।

🎮

खेल — हेक्स बोर्ड

कैटन जैसे रणनीति खेल और कई युद्ध खेल सभी दिशाओं में समान गति के लिए षट्भुजाकार टाइल बोर्ड का उपयोग करते हैं।

🏗️

निर्माण — टाइलिंग

षट्भुजाकार फर्श टाइलें और पेविंग पैटर्न बिना किसी अंतराल के पूरी तरह टाइल होते हैं, जो सुंदरता और दक्षता दोनों प्रदान करते हैं।

🔬

विज्ञान — आणविक संरचना

बेंजीन अणु (C₆H₆) और ग्राफीन दोनों में सम षट्भुजाकार कार्बन रिंग संरचनाएँ होती हैं, जिससे षट्भुज क्षेत्रफल की गणना रसायन विज्ञान और पदार्थ विज्ञान में प्रासंगिक हो जाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सम षट्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

सम षट्भुज का क्षेत्रफल A = (3√3/2) × s² होता है, जहाँ s भुजा की लंबाई है। यह लगभग 2.598 × s² के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, 6 cm भुजा वाले षट्भुज का क्षेत्रफल = 2.598 × 36 ≈ 93.53 cm² होता है।

सम षट्भुज की परित्रिज्या भुजा की लंबाई के बराबर क्यों होती है?

सम षट्भुज को 6 समबाहु त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है जो सभी केंद्र पर मिलते हैं। प्रत्येक समबाहु त्रिभुज में केंद्र से जुड़ने वाली दो भुजाएँ (परित्रिज्या) आधार (षट्भुज की एक भुजा) के बराबर होती हैं। इसलिए R = s — परित्रिज्या भुजा की लंबाई के बराबर होती है।

षट्भुज की अंतःत्रिज्या क्या है?

अंतःत्रिज्या षट्भुज के केंद्र से किसी भी भुजा के मध्यबिंदु तक की लंबवत दूरी है (इसे इनरेडियस भी कहते हैं)। सम षट्भुज के लिए: a = (√3/2) × s ≈ 0.866s। क्षेत्रफल को A = (1/2) × परिमाप × अंतःत्रिज्या के रूप में भी निकाला जा सकता है।

षट्भुज समतल को पूरी तरह कैसे टाइल करता है?

सम षट्भुज बिना किसी अंतराल के पूरी तरह टाइल करते हैं — सम बहुभुजों में केवल समबाहु त्रिभुज, वर्ग और षट्भुज ही ऐसा कर सकते हैं। 120° आंतरिक कोण प्रत्येक शीर्ष पर ठीक 3 षट्भुजों को मिलने देते हैं (3 × 120° = 360°), जो समतल को बिना किसी ओवरलैप या अंतराल के पूरी तरह भर देते हैं।

अंतःत्रिज्या से क्षेत्रफल कैसे निकालें?

अंतःत्रिज्या a से भुजा निकालें: s = 2a/√3। फिर A = (3√3/2)s² लगाएं। वैकल्पिक रूप से, A = (1/2) × P × a = 3sa का उपयोग करें, जहाँ P = 6s परिमाप है। a = 5.196 cm के लिए: s = 2 × 5.196/1.732 ≈ 6 cm → A ≈ 93.53 cm²।

✎ चरण-दर-चरण हल